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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请教实数系的"连续性"是如何定义的？
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Akutamatsu

银虫 (初入文坛)

[求助] 请教实数系的"连续性"是如何定义的？ 已有3人参与

本人目前大三，数学专业在读。学数分时用的教材是复旦陈纪修第二版。当中给出的"实数系连续性定理"就是"确界存在定理"。个人分辨不出这"连续性"究竟指的是什么，另一个概念"完备性"倒是明了，即"柯西序列收敛"。总感觉这确界存在定理，和柯西收敛原理说的是一回事，都是实数系对极限运算的"封闭"。
换个思路想了想，是不是和"连续映射"的定义有关，然而仍是百思不得其解。如果是这样，有理数又为什么不能冠以"连续性"？
或者说，还和"连通性"的定义有关？"连通性"是怎么定义的…那不会导致循环定义么？
本人基础尚可，也许融会贯通能力尚欠，望高人解疑。

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1楼 2015-10-25 13:49:50
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
实数列的极限(存在的话)一定是实数!
有理数列的极限未必是有理数!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
3楼2015-10-25 18:15:17
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ccmmjj126

银虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
Akutamatsu(feixiaolin代发): 金币+5 2015-11-01 21:25:21
feixiaolin: 金币+8, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=9565441&fpage=1&target=self&page=2 奖励 2015-11-01 21:25:32
据我所知，连续不见得是完备，比如说，开区间（0，1）是连续的，但并不完备。完备性要求产生一个闭包。
完备也推不出连续，比如两个不相邻的闭区间。所以它们不是同一个概念。但实数集的连续性是要完备性来支撑的，它的许多漂亮性质，没有完备性公理就没办法描述。
一点拙见，谨作参考。
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10楼2015-10-28 11:46:29
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普通回帖

0404600213

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
实数连续是公理
这是和确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则都等价的
http://baike.baidu.com/link?url= ... L-E-g0XXvJX2gGdF7XK
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2楼2015-10-25 15:29:04
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ccmmjj126

银虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
2，3楼说的都很好。连续性与完备性是有关系的。
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4楼2015-10-25 19:38:13
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郑州苗鹏

金虫 (小有名气)
这几个可以互相证明，数分上有，华东师大版的有，复旦版的不清楚！

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天行健君子以自强不息
5楼2015-10-25 21:11:01
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opanane

木虫 (小有名气)
实数系的连续性来源于实数自身的定义，连续性是其性质，等价的就是上面说的那些定理。
另外，楼主是不是活跃于某绿帽论坛？
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6楼2015-10-26 01:54:03
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Akutamatsu

银虫 (初入文坛)
引用回帖:
6楼: Originally posted by opanane at 2015-10-26 01:54:03
实数系的连续性来源于实数自身的定义，连续性是其性质，等价的就是上面说的那些定理。
另外，楼主是不是活跃于某绿帽论坛？

并没有o_O...

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7楼2015-10-27 15:26:01
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风过云动
V

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8楼2015-10-27 15:26:55
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Akutamatsu

银虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by ccmmjj126 at 2015-10-25 19:38:13
2，3楼说的都很好。连续性与完备性是有关系的。

我问的就是：什么关系？连续性就是完备性吗？或者说，连续就完备吗？完备就连续吗？如果是同一个概念，又何必要做区分呢？多谢

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9楼2015-10-27 15:27:37
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