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我要飞

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[求助] 可以分解吗已有2人参与

一个实对称正定矩阵可以分解为两个对称正定矩阵的乘积吗

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1楼 2015-10-02 18:04:40

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zaq123321

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【答案】应助回帖

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One trivial decomposition A=EA, where E is identity matrix

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

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小木虫给我温暖，给我希望，爱就要爱小木虫。

2楼2015-10-02 19:17:21

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我要飞

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2楼: Originally posted by zaq123321 at 2015-10-02 19:17:21
One trivial decomposition A=EA, where E is identity matrix

可以分解为：
A=B^2的这种形式吗？

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3楼2015-10-03 00:50:26

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Edstrayer

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3楼: Originally posted by 我要飞 at 2015-10-03 00:50:26
可以分解为：
A=B^2的这种形式吗？...

可以。
设

$A=\left({a\atop b}{b\atop c}\right)$

这里 $a>0,c>0,ac-b^2>0$
则可以取

$B=\left({m\atop n}{n\atop k}\right)$

这里

$m=\frac{a+\sqrt{ac-b^2}}{\sqrt{a+c+2\sqrt{ac-b^2}}}>0$

$k=\frac{c+\sqrt{ac-b^2}}{\sqrt{a+c+2\sqrt{ac-b^2}}}>0$

$n=\frac{b}{\sqrt{a+c+2\sqrt{ac-b^2}}}>0$

就一定有 $A=B^2$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

4楼2015-10-03 05:35:32

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Edstrayer

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$n=\frac{b}{\sqrt{a+c+2\sqrt{ac-b^2}}}$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

5楼2015-10-05 01:27:04

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shenyxtata

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【答案】应助回帖

引用回帖:

3楼: Originally posted by 我要飞 at 2015-10-03 00:50:26
可以分解为：
A=B^2的这种形式吗？...

可以。先求A的特征值lambda_i及特征向量n_i（归一化）。然后令
B = sum_i sqrt(lambda_i) * n_i * n_i^T

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6楼2015-10-06 15:30:55

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