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pkusiyuan

银虫 (正式写手)

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[资源] Introduction to The Calculus of Variations

Preface to the English Edition ix
Preface to the French Edition xi
0 Introduction 1
0.1 Brief historical comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Model problemand some examples . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 Presentation of the content of themonograph . . . . . . . . . . . 7
1 Preliminaries 11
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Continuous and Hölder continuous functions . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Lp spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.5 Convex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Classical methods 45
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Euler-Lagrange equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3 Second formof the Euler-Lagrange equation . . . . . . . . . . . . 59
2.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4 Hamiltonian formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.5 Hamilton-Jacobi equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
v
vi CONTENTS
2.6 Fields theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.6.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3 Direct methods 79
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2 Themodel case: Dirichlet integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3 A general existence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4 Euler-Lagrange equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.5 The vectorial case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.6 Relaxation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.6.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4 Regularity 111
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2 The one dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3 Themodel case: Dirichlet integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.4 Some general results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5 Minimal surfaces 127
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2 Generalities about surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.3 The Douglas-Courant-Tonellimethod. . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.4 Regularity, uniqueness and non uniqueness . . . . . . . . . . . . . 145
5.5 Nonparametricminimal surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6 Isoperimetric inequality 153
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.2 The case of dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.3 The case of dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
CONTENTS vii
7 Solutions to the Exercises 169
7.1 Chapter 1: Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.1.1 Continuous and Hölder continuous functions . . . . . . . 169
7.1.2 Lp spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.1.3 Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.1.4 Convex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.2 Chapter 2: Classicalmethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.2.1 Euler-Lagrange equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.2.2 Second formof the Euler-Lagrange equation . . . . . . . . 190
7.2.3 Hamiltonian formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.2.4 Hamilton-Jacobi equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.2.5 Fields theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.3 Chapter 3: Directmethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.3.1 Themodel case: Dirichlet integral . . . . . . . . . . . . . 196
7.3.2 A general existence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.3.3 Euler-Lagrange equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.3.4 The vectorial case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.3.5 Relaxation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.4 Chapter 4: Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.4.1 The one dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.4.2 Themodel case: Dirichlet integral . . . . . . . . . . . . . 207
7.5 Chapter 5: Minimal surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.5.1 Generalities about surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.5.2 The Douglas-Courant-Tonelli method . . . . . . . . . . . 213
7.5.3 Nonparametricminimal surfaces . . . . . . . . . . . . . . 213
7.6 Chapter 6: Isoperimetric inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.6.1 The case of dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.6.2 The case of dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Bibliography 219
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hylpy

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7楼2015-09-06 08:27:13

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peterflyer3楼

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