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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 一道积分题，求提示
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孙宇麒

新虫 (初入文坛)

[求助] 一道积分题，求提示 已有5人参与

函数f(x)在区间[a,b]上可积，证明存在区间[a,b]上的连续函数p(x)和q(x)，使得p(x)≤f(x)≤q(x),且q(x)-p(x)在区间[a,b]上的积分任意小。

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1楼 2015-08-29 08:28:28
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
用维尔斯特拉斯逼近定理证明!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
4楼2015-08-29 10:36:39
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e35110865

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这只是  不可积点测度为零，然后连续闭区间上的上下界之差，只有测度为零的点，极限意义下不趋于零。不知道我说清楚没

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2楼2015-08-29 08:45:39
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孙宇麒

新虫 (初入文坛)
但是这是中科大数学分析上的一道题，我想不会错，我再想想

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3楼2015-08-29 10:25:44
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
不妨试试从Riemann和入手。
对被积函数插入n-1个等间距节点，连同端点共有n+1个节点：a=x0<x1<x2<…<xn=b。记mi=min{f(x)in[x_i-1,x_i]}
在区间[x0,x1]上定义p(x)=m1；
在区间[x1,x2]上定义p(x)为连接点(x1,m1)&(x2,m2)的直线段；
…………
依此类推，导出折线型函数p(x)。

个人认为这个应该符合题目要求了，对于q(x)，换用max。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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PreferenceforMathematics
5楼2015-08-29 10:51:00
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