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函数f(x)在区间[a,b]上可积，证明存在区间[a,b]上的连续函数p(x)和q(x)，使得p(x)≤f(x)≤q(x),且q(x)-p(x)在区间[a,b]上的积分任意小。 发自小木虫Android客户端 |
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2楼2015-08-29 08:45:39
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【答案】应助回帖
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f(x)是[a,b]上的连续函数,所以可以设m<=f(x)<=M. 不妨设g(x)恒>=0,反之用-g(x)取代. 所以mg(x)<=g(x)f(x)<=Mg(x) m∫g(x)dx=∫mg(x)dx=<∫f(x)g(x)dx<=∫Mg(x)dx=M∫g(x)dx 所以设∫f(x)g(x)dx=T∫g(x)dx 因为f(x)连续,所以对于任何一个T满足m<=T<=M,存在ξ使得f(ξ)=T. 所以证毕. 反例 区间[a,b]=[0,2pi] g(x)=sin(x) f(x)=sin(x) ∫f(x)g(x)dx=(1/2)∫(1-cos2x)dx=pi f(ξ)∫g(x)dx=0 |
10楼2015-09-04 17:13:32