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tigou

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[求助] 当函数兼职指数时的无穷大极限

设
$a\in\mathbb{R},~f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}.$
则
$\lim_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty\Leftrightarrow\lim_{x\to+\infty}xf(x)=+\infty\land\limsup_{x\to+\infty}f(x)<1.$

找到反例或给出证明过程算应助成功. 我好几次都认为自己已经证明了该命题, 但后来都发现了证明漏洞. 难点在于右推左, 特别是f(x)具有涉无穷小性质的时候.

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1楼 2015-08-08 10:21:34

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更正
$\lim_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty\Leftrightarrow\lim_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty\lan\lim_{x\to+\infty}[1-f(x)]\ln x=+\infty$

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2楼2015-08-10 23:05:15

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引用回帖:

2楼: Originally posted by tigou at 2015-08-10 23:05:15
更正
\lim_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty\Leftrightarrow\lim_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty\lan\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty

$\lim_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty\Leftrightarrow$
$\lim_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty\land\lim_{x\to+\infty}[1-f(x)]\ln x=+\infty$

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3楼2015-08-10 23:09:55

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