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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 高斯积分的结果开根号有两个分支，怎么判断是哪一个
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Sarah_Bless

新虫 (初入文坛)

[求助] 高斯积分的结果开根号有两个分支，怎么判断是哪一个 已有2人参与

积分I=\[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-z x^2} \,dx .\] ，其中Re z > 0， 则
\[I^2 = \frac{\pi}{z}\]
问题是\[{(\frac{\pi}{z})}^{\frac{1}{2}}\]是多值函数，即设\[ z=\rho e^{i \phi} \]，若Im z不为0，怎么知道I = \[ {(\frac{\pi}{z})}^{\frac{1}{2}} e^{- i {\frac{\phi}{2}}}\]还是 \[ - {(\frac{\pi}{z})}^{\frac{1}{2}} e^{- i {\frac{\phi}{2}}}\]？
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1楼 2015-07-29 23:37:17
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Sarah_Bless

新虫 (初入文坛)
抱歉第一次发帖搞不清公式怎么弄，见图：
高斯积分的结果开根号有两个分支，怎么判断是哪一个
高斯积分.png
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2楼2015-07-30 00:02:41
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
Sarah_Bless: 金币+10, ★★★很有帮助 2015-07-30 21:36:25
feixiaolin: 金币+20, 2015-07 数学版应助金币奖励 2015-08-02 15:21:03
被积函数exp(-(a+ib)*x^2) =exp(-ax^2-ibx^2)= exp(-ax^2)(cos(bx^2)-isin(bx^2))
所以你的问题等价于证明exp(-ax^2)*cos(bx^2)在积分区间上的符号【其中a>0】。

可以证明积分在区间上是正的，所以你的符号取正
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板凳要做十年冷文章不发一个字
3楼2015-07-30 08:35:03
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
若Z的虚部不为零而为复数，则I=±SQRT(π/ρ)*exp(i*Φ/2)应该均为原积分的值，但可取正号的为主值，另一个为辅值，两者互为共轭。若虚部为零，则只取正号。
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4楼2015-07-30 10:54:45
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Sarah_Bless

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
3楼: Originally posted by bluesine at 2015-07-30 08:35:03
被积函数exp(-(a+ib)*x^2) =exp(-ax^2-ibx^2)= exp(-ax^2)(cos(bx^2)-isin(bx^2))
所以你的问题等价于证明exp(-ax^2)*cos(bx^2)在积分区间上的符号【其中a>0】。

可以证明积分在区间上是正的，所以你的符号 ...

请问怎么证明exp(-ax^2)*cos(bx^2)对x从负无穷积到正无穷是正的？
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5楼2015-07-30 21:10:40
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Sarah_Bless

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by peterflyer at 2015-07-30 10:54:45
若Z的虚部不为零而为复数，则I=±SQRT(π/ρ)*exp(i*Φ/2)应该均为原积分的值，但可取正号的为主值，另一个为辅值，两者互为共轭。若虚部为零，则只取正号。

你好，我不确切地知道你的意思。I^2开根后的两个分支实部、虚部分别互为相反数，不是互为复共轭。两个分支一个实部为正，另一个实部为负。如果I有两个值，那么只对被积函数实部积分相应地也有两个值，实函数的积分有两个值怎么理解？
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6楼2015-07-30 21:32:45
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫
引用回帖:
5楼: Originally posted by Sarah_Bless at 2015-07-30 21:10:40
请问怎么证明exp(-ax^2)*cos(bx^2)对x从负无穷积到正无穷是正的？...

证明相当复杂，那个是偶函数，所以只需要证明在[0,+Inf)上为正即可。
由于cos(bx^2)是周期函数，可以考虑证明：对于任意一对零点(两个)上，被积函数积分是正的，即bx^2=k*pi(k=0，1为一对，k=2,3为第二对)
最终完成证明
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板凳要做十年冷文章不发一个字
7楼2015-07-31 08:37:53
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Sarah_Bless

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
7楼: Originally posted by bluesine at 2015-07-31 08:37:53
证明相当复杂，那个是偶函数，所以只需要证明在[0,+Inf)上为正即可。
由于cos(bx^2)是周期函数，可以考虑证明：对于任意一对零点(两个)上，被积函数积分是正的，即bx^2=k*pi(k=0，1为一对，k=2,3为第二对)
最终完 ...

谢谢。是你在哪见过这个证明吗？方便的话能拍张照片吗？
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8楼2015-07-31 10:26:34
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫
引用回帖:
8楼: Originally posted by Sarah_Bless at 2015-07-31 10:26:34
谢谢。是你在哪见过这个证明吗？方便的话能拍张照片吗？...

是我自己证明的，尝试的话，你可以先用a=1和b=1试试。
x=  0的时候，函数值为1，
x = pi/2为第一个零点
x = 3*pi/2为第二个零点
用缩放证明在这个区间上积分大于0.过程比较长，但是确定是可以证明的。自己慢慢补充吧
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板凳要做十年冷文章不发一个字
9楼2015-08-03 08:18:56
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