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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

★ ★
zqzqh: 金币+2, ★★★★★最佳答案, 回答的很详细,很好!!!!!!!!!!!!! 2015-08-11 19:09:57
引用回帖:
7楼: Originally posted by zqzqh at 2015-08-10 21:40:20
对不住,这么久才回!
我想问:在P,Q只在区域D中连续的情况下,积分曲线与路径无关是可以和存在原函数互推吗?
第二个我想说的是我的P,Q不是原函数,是某个原函数的导函数...

一:P,Q连续且线积分不依赖于路径,则根据dU=Pdx+Qdy就能确定出一个原函数,这个原函数满足U_x=P&U_y=Q且两个偏导数都是连续的(∵假定P,Q连续)。因此原函数U是可微函数,属于C1类;反过来亦可。

     二:关于P_y=Q_x条件:这个本身对原函数U有更强的条件才可以得出的,或者说P,Q具有连续的偏导数才可用:由U_x=P&U_y=Q,前一个式子关于y求偏导,后一个式子关于x求偏导,并假定U_xy=U_yx(比如说U是二次连续可微函数,混合导数交换次序结果不变),就得到P_y=Q_x。而且还需要对区域D有限制要求:单连通区域。
         
或者可以根据Green Theorem而得到,但注意定理本身条件,涉及面积分的部分,被积函数连续,积分才存在,即面积分有定义,才可用。因此提出P,Q具有连续偏导数的条件。
PreferenceforMathematics
11楼2015-08-11 11:53:56
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