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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

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【答案】应助回帖

★ ★
zqzqh: 金币+2, ★★★★★最佳答案, 回答的很详细，很好！！！！！！！！！！！！！ 2015-08-11 19:09:57

引用回帖:

7楼: Originally posted by zqzqh at 2015-08-10 21:40:20
对不住，这么久才回！
我想问：在P，Q只在区域D中连续的情况下，积分曲线与路径无关是可以和存在原函数互推吗？
第二个我想说的是我的P,Q不是原函数，是某个原函数的导函数...

一：P,Q连续且线积分不依赖于路径，则根据dU=Pdx+Qdy就能确定出一个原函数，这个原函数满足U_x=P&U_y=Q且两个偏导数都是连续的（∵假定P,Q连续）。因此原函数U是可微函数，属于C1类；反过来亦可。

二：关于P_y=Q_x条件：这个本身对原函数U有更强的条件才可以得出的，或者说P,Q具有连续的偏导数才可用：由U_x=P&U_y=Q，前一个式子关于y求偏导，后一个式子关于x求偏导，并假定U_xy=U_yx（比如说U是二次连续可微函数，混合导数交换次序结果不变），就得到P_y=Q_x。而且还需要对区域D有限制要求：单连通区域。

或者可以根据Green Theorem而得到，但注意定理本身条件，涉及面积分的部分，被积函数连续，积分才存在，即面积分有定义，才可用。因此提出P,Q具有连续偏导数的条件。

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PreferenceforMathematics

11楼2015-08-11 11:53:56

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