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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 二维泊松方程求解
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
原来给出的结果有误。下面将求解过程给出如下：
若将方程化为极坐标形式，则为：
P^2u/Pr^2+1/r*Pu/Pr+1/r^2*P^2u/Pθ^2=sqrt(r^2+c^2)
若为轴对称问题，u与θ无关，即P^2u/Pθ^2=0，则上方程简化为了：
d^2u/dr^2+1/r*du/dr=sqrt(r^2+c^2)
令V=du/dr，则
dV/dr+1/r*V=sqrt(r^2+c^2)
V=e^{Integral{-dr/r}}*{A+Integral{sqrt(r^2+c^2)*e^{Integral{dr/r}}*dr}}
=1/r*{A+1/3*(r^2+c^2)^(3/2)}
=A/r+1/(3*r)*(r^2+c^2)^(3/2)
即du/dr=A/r+1/(3*r)*(r^2+c^2)^(3/2)
再次对上式进行积分，得到u的表达式。
u(r)=A*Lnr+1/3*Integral{(r^2+c^2)^(3/2)/r*dr} +B                                      
A、B均为积分常数。
  这里的积分计算不难，但很繁琐，就留给楼主自己积了。
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11楼2015-07-05 21:03:43
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
10楼: Originally posted by kimileegdut at 2015-07-05 19:52:57
你好，能参考一下求解过程吗？很奇怪的是，老外的文章给出的解是
u=-(c^3)/3*ln+1/9*(r^2+4*c^2)*(r^2+c^2)^(1/2)...

老外的这个解估计已经将边界条件带入了进去，球出了两个待定的常数。
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12楼2015-07-05 21:08:16
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kimileegdut

捐助贵宾 (小有名气)
引用回帖:
11楼: Originally posted by peterflyer at 2015-07-05 21:03:43
原来给出的结果有误。下面将求解过程给出如下：
若将方程化为极坐标形式，则为：
P^2u/Pr^2+1/r*Pu/Pr+1/r^2*P^2u/Pθ^2=sqrt(r^2+c^2)
若为轴对称问题，u与θ无关，即P^2u/Pθ^2=0，则上方程简化为了：
d^2u/d ...

ok，谢谢了！
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13楼2015-07-05 21:31:35
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者
看来楼主需要的解是无界解。
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PreferenceforMathematics
14楼2015-07-06 08:18:45
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