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kimileegdut

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[求助] 二维泊松方程求解已有1人参与

向大神求助，求解泊松方程

其中c是常数，求u的表达式

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1楼 2015-07-05 16:34:04

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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原来给出的结果有误。下面将求解过程给出如下：
若将方程化为极坐标形式，则为：
P^2u/Pr^2+1/r*Pu/Pr+1/r^2*P^2u/Pθ^2=sqrt(r^2+c^2)
若为轴对称问题，u与θ无关，即P^2u/Pθ^2=0，则上方程简化为了：
d^2u/dr^2+1/r*du/dr=sqrt(r^2+c^2)
令V=du/dr，则
dV/dr+1/r*V=sqrt(r^2+c^2)
V=e^{Integral{-dr/r}}*{A+Integral{sqrt(r^2+c^2)*e^{Integral{dr/r}}*dr}}
=1/r*{A+1/3*(r^2+c^2)^(3/2)}
=A/r+1/(3*r)*(r^2+c^2)^(3/2)
即du/dr=A/r+1/(3*r)*(r^2+c^2)^(3/2)
再次对上式进行积分，得到u的表达式。
u(r)=A*Lnr+1/3*Integral{(r^2+c^2)^(3/2)/r*dr} +B
A、B均为积分常数。
这里的积分计算不难，但很繁琐，就留给楼主自己积了。