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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 求满足给定条件的函数
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tigou

木虫 (正式写手)

[求助] 求满足给定条件的函数 已有2人参与

设为正实数，，实一元函数满足下列三个条件：
1）  ；
2） ；
3）在上光滑 。
这样的函数是否存在？如存在，能否给出一个确定式（给定变量后经该式可计算出确切的函数值）。
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0/0的意义是所有数的集合
1楼 2015-07-03 12:49:54
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拉马之仆

银虫 (小有名气)
引用回帖:
11楼: Originally posted by tigou at 2015-07-06 09:49:28
这个构造相当巧妙，满足了1楼明着给定的条件，本来应给结贴给金币了。但我还想继续讨论下。若a>1，请分析下F(x)在(0,1)上的单调性和凹凸性，如果是递增和下凸的就完美了。谢谢。

这个问题的起因是我在自然数 ...

非常感谢您的厚爱。不过坦白讲，本人只是个业余数学爱好者，没有很充足的时间和精力从事研究。
取a=2，f(n)的收敛速度非常惊人，f(5)=2.003529930*10^19728，级数只需取前5项就足够精确了。
我用maple14绘图看了一下，当r=1，a=2时，f(x)=1/F(x)的图像在(0，1)之间确实递增且下凸。(但当0<r<1时，图像并不单调，在(0，1)之间存在极小值)但F(x)是含有Γ函数和三角函数的级数，要证明其单调性和凹凸性恐怕有难度。但是您也看到了，在我的思路下，回避使用Γ函数和三角函数恐怕不大好办。
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13楼2015-07-06 12:25:19
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tigou

木虫 (正式写手)
这函数如果存在，应该与函数高度神似。不过更感觉那样的函数不存在。
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0/0的意义是所有数的集合
2楼2015-07-03 23:17:47
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
引用回帖:
2楼: Originally posted by tigou at 2015-07-03 23:17:47
这函数如果存在，应该与\Gamma函数高度神似。不过更感觉那样的函数不存在。

这类函数存在是不成问题的，只是显示表达式会难办些。 思路大致是这样的：

从函数定义来看， 只要f在(0,1)内光滑定义，并且在x=1处满足光滑条件，就可以按条件(2)延拓到整个正实轴上去，同时仍然保持光滑性。

由于f在x=1处左导数各阶依次为, 右导数由递推公式归结于零点的导数的性质，即乘以关于一个 的多项式。虽然这是要求满足无穷多个等式，但存在解是不成问题的。

最简单来说，比如取某个光滑函数使得在[0,t]上恒为 a/2，[1-t,t]上恒为a, t是个很小的正数， 就可以保证f在x=1处的光滑性了（其实就是各阶导数全为0）。
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We_must_know. We_will_know.
3楼2015-07-04 02:49:05
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2015-07-04 02:49:05
这类函数存在是不成问题的，只是显示表达式会难办些。 思路大致是这样的：

从函数定义来看， 只要f在(0,1)内光滑定义，并且在x=1处满足光滑条件，就可以按条件(2)延拓到整个正实轴上去，同时仍然保持光滑性。
...

谢谢。您能否给出函数存在的严格证明。
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0/0的意义是所有数的集合
4楼2015-07-04 09:14:14
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