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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 求满足给定条件的函数
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tigou

木虫 (正式写手)

[求助] 求满足给定条件的函数 已有2人参与

设为正实数，，实一元函数满足下列三个条件：
1）  ；
2） ；
3）在上光滑 。
这样的函数是否存在？如存在，能否给出一个确定式（给定变量后经该式可计算出确切的函数值）。
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0/0的意义是所有数的集合
1楼 2015-07-03 12:49:54
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
10楼: Originally posted by 拉马之仆 at 2015-07-06 00:30:19
本解法为原创，但是不能确定是否为首创。...

这个构造相当巧妙，满足了1楼明着给定的条件，本来应给结贴给金币了。但我还想继续讨论下。若，请分析下在(0,1)上的单调性和凹凸性，如果是递增和下凸的就完美了。谢谢。

这个问题的起因是我在自然数集上定义了一系列新的二元运算——广义乘，想把广义乘推广到实数集上去。推广的关键就是要恰当地定义非整数之间的广义乘的计算方式，最好能满足单调递增、下凸、光滑等条件，并且不用到广义乘之外的其他函数形式（例如三角函数）。如不能全部满足，能满足其中部分要求也行。估计近期中国科技论文在线会发布我定义广义乘的论文，届时欢迎您去查看。如果您对此有兴趣并信任我，我们可以合作完善实数集上广义乘的定义，并由此导出若干与无穷大有关的新结论。

如您时间宝贵或有其他原因不愿参与，我就此结贴并兑现论坛金币。
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0/0的意义是所有数的集合
11楼2015-07-06 09:49:28
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tigou

木虫 (正式写手)
这函数如果存在，应该与函数高度神似。不过更感觉那样的函数不存在。
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0/0的意义是所有数的集合
2楼2015-07-03 23:17:47
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
引用回帖:
2楼: Originally posted by tigou at 2015-07-03 23:17:47
这函数如果存在，应该与\Gamma函数高度神似。不过更感觉那样的函数不存在。

这类函数存在是不成问题的，只是显示表达式会难办些。 思路大致是这样的：

从函数定义来看， 只要f在(0,1)内光滑定义，并且在x=1处满足光滑条件，就可以按条件(2)延拓到整个正实轴上去，同时仍然保持光滑性。

由于f在x=1处左导数各阶依次为, 右导数由递推公式归结于零点的导数的性质，即乘以关于一个 的多项式。虽然这是要求满足无穷多个等式，但存在解是不成问题的。

最简单来说，比如取某个光滑函数使得在[0,t]上恒为 a/2，[1-t,t]上恒为a, t是个很小的正数， 就可以保证f在x=1处的光滑性了（其实就是各阶导数全为0）。
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We_must_know. We_will_know.
3楼2015-07-04 02:49:05
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2015-07-04 02:49:05
这类函数存在是不成问题的，只是显示表达式会难办些。 思路大致是这样的：

从函数定义来看， 只要f在(0,1)内光滑定义，并且在x=1处满足光滑条件，就可以按条件(2)延拓到整个正实轴上去，同时仍然保持光滑性。
...

谢谢。您能否给出函数存在的严格证明。
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0/0的意义是所有数的集合
4楼2015-07-04 09:14:14
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