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Edstrayer

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[交流] 一个Diophantine方程可解性的讨论

问题(0725)试找出Diophantine方程

$3^x+11^y=z^2$

的所有整数解组(x,y,z)=?并说明理由。

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2015-07-03 05:13:12

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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Edstrayer: 金币+10, 方程的全部整数解有且仅有(x,y,z)=(1,0,2),(1,0,-2),(5,4,122),(5,4,-122) 2015-07-03 18:19:10

我只找到两组解 (1,0,2), (5,4,122)

(1)如果x=0, 则y必须大于0，且z>2。那么 $11^y|(z+1)(z-1)$ 推出 11|(z+1), 11|(z-1), 可这两个数的差是2，而11不整除2，矛盾。

(2)如果y=0, 则 $3^x=(z+1)(z-1)$ . 如果z>2, 同上可得矛盾。所以这时只有一组解 (x,y,z)=(1,0,2).

(3)当x>0,y>0时，由3不整除11知道3不可以整除z. 于是 $z^2\equiv 1(mod 3)$ 于是从 $11^y\equiv (-1)^y (mod 3)$ 知道y=2k为偶数。那么
$3^x=(z+11^k)(z-11^k)$ 得到 $3^x=z+11^k, 1=z-11^k$ , 从而
$3^x=1+2\cdot 11^k$ , 比如 $3^5=1+2*11^2$ 现在我们来说明这又是唯一解。

因为 $3^x\equiv 1 (mod 11)$ 推出x=5p. 于是 $(1+2*11^2)^p=1+2\cdot 11^k$ , $2p\cdot 11^2=2\cdot 11^k-\sum_{s=3}^{p}{p \choose s}2^s 11^{2s}$

大家需要证明， $11^{k-2}, {p \choose s}11^{2s-2}$ 每一项因式分解中的11的幂次都严格大于p中11的幂次。所以p>2都是无解的。