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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 拓扑与收敛
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Orlicz

金虫 (小有名气)

[求助] 拓扑与收敛已有2人参与

我们知道，赋范线性空间中强拓扑与弱拓扑等价的充要条件是其为有限维的，是否可以说当空间中序列强收敛与弱收敛等价时，空间就是有限维呢？但结果肯定并不是这样了，因为在中，序列的强收敛与弱收敛等价。所以请教一下大侠，问题出在什么地方？谢谢！
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1楼2015-05-10 15:59:10
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★
feixiaolin: 金币+2 2015-05-11 17:57:53
Orlicz: 回帖置顶 2015-05-11 19:28:12
评价拓扑是否等价，主要看网收敛是否等价，而序列收敛的等价性只是一个必要条件。
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9楼2015-05-11 10:12:50
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
feixiaolin: 金币+2 2015-05-11 17:57:14
引用回帖:
2楼: Originally posted by Nonsmooth at 2015-05-10 18:07:58
你确信l1中强收敛与弱收敛等价？玩笑开大了吧？

l^1 Space中，强收敛和弱收敛等价的证明：
拓扑与收敛
1.png


拓扑与收敛-1
2.png


拓扑与收敛-2
3.png


拓扑与收敛-3
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拓扑与收敛-4
5.png


拓扑与收敛-5
6.png


拓扑与收敛-6
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PreferenceforMathematics
5楼2015-05-11 08:13:44
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

★ ★ ★
Orlicz(feixiaolin代发): 金币+3 2015-05-11 17:57:08
楼主所举的反例，就已经否定了命题“赋范线性空间中强拓扑与弱拓扑等价的充要条件是其为有限维的”了。
      记得对于赋范线性空间B*而言，有限维等价于“单位球面是列紧的”；而当空间是无穷维时，出现了单位球面紧性缺失的情形（即“Riesz引理”）。个人推测问题可能跟“失紧性”有关。
     下图中引用的文献，可能更有助于解决楼主的疑惑。
拓扑与收敛-7
9.png


拓扑与收敛-8
10.png
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PreferenceforMathematics
7楼2015-05-11 08:43:47
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普通回帖

Nonsmooth

银虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
feixiaolin: 金币+1 2015-05-11 17:57:25
你确信l1中强收敛与弱收敛等价？玩笑开大了吧？
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学术无国界。
2楼2015-05-10 18:07:58
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Orlicz

金虫 (小有名气)
内容已删除
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3楼2015-05-10 21:08:59
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Nonsmooth

银虫 (著名写手)
★
feixiaolin: 金币+1 2015-05-11 17:57:36
引用回帖:
3楼: Originally posted by Orlicz at 2015-05-10 21:08:59
很多书上都有这个结论啊，如定光桂老师的《泛函分析新讲》的154页的定理2(Schur定理)...

那就是你前面那个结论有问题了。这两个都没看过。肯定有一个是开玩笑的。后面那个对的可能性大些，l1本来就很特殊。
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学术无国界。
4楼2015-05-10 21:16:34
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Nonsmooth

银虫 (著名写手)
★
feixiaolin: 金币+1 2015-05-11 17:57:45
引用回帖:
5楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2015-05-11 08:13:44
l^1 Space中，强收敛和弱收敛等价的证明：

1.png

2.png

3.png

4.png

5.png

6.png

7.png
...

写得很详细了。l1是很特殊的空间。以前没考虑过这个问题。
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学术无国界。
6楼2015-05-11 08:18:20
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Orlicz

金虫 (小有名气)
"赋范线性空间中强拓扑与弱拓扑等价的充要条件是其为有限维的"  来自俞鑫泰的《Banach空间几何理论》定理1.1.2以及Robert E.Megginson的《An introduction to Banach space theoty》第215页的命题2.5.13
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8楼2015-05-11 09:37:45
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Nonsmooth

银虫 (著名写手)
以前没考虑这个问题，看来要好好看看。
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学术无国界。
10楼2015-05-11 10:51:33
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