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Orlicz

金虫 (小有名气)

[求助] 拓扑与收敛 已有2人参与

我们知道,赋范线性空间中强拓扑与弱拓扑等价的充要条件是其为有限维的,是否可以说当空间中序列强收敛与弱收敛等价时,空间就是有限维呢?但结果肯定并不是这样了,因为在中,序列的强收敛与弱收敛等价。所以请教一下大侠,问题出在什么地方?谢谢!
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

★ ★ ★
Orlicz(feixiaolin代发): 金币+3 2015-05-11 17:57:08
楼主所举的反例,就已经否定了命题“赋范线性空间中强拓扑与弱拓扑等价的充要条件是其为有限维的”了。
      记得对于赋范线性空间B*而言,有限维等价于“单位球面是列紧的”;而当空间是无穷维时,出现了单位球面紧性缺失的情形(即“Riesz引理”)。个人推测问题可能跟“失紧性”有关。
     下图中引用的文献,可能更有助于解决楼主的疑惑。
拓扑与收敛
9.png


拓扑与收敛-1
10.png

PreferenceforMathematics
7楼2015-05-11 08:43:47
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查看全部 12 个回答

Nonsmooth

银虫 (著名写手)

【答案】应助回帖


感谢参与,应助指数 +1
feixiaolin: 金币+1 2015-05-11 17:57:25
你确信l1中强收敛与弱收敛等价?玩笑开大了吧?
学术无国界。
2楼2015-05-10 18:07:58
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Nonsmooth

银虫 (著名写手)


feixiaolin: 金币+1 2015-05-11 17:57:36
引用回帖:
3楼: Originally posted by Orlicz at 2015-05-10 21:08:59
很多书上都有这个结论啊,如定光桂老师的《泛函分析新讲》的154页的定理2(Schur定理)...

那就是你前面那个结论有问题了。这两个都没看过。肯定有一个是开玩笑的。后面那个对的可能性大些,l1本来就很特殊。
学术无国界。
4楼2015-05-10 21:16:34
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与,应助指数 +1
feixiaolin: 金币+2 2015-05-11 17:57:14
引用回帖:
2楼: Originally posted by Nonsmooth at 2015-05-10 18:07:58
你确信l1中强收敛与弱收敛等价?玩笑开大了吧?

l^1 Space中,强收敛和弱收敛等价的证明:
拓扑与收敛-2
1.png


拓扑与收敛-3
2.png


拓扑与收敛-4
3.png


拓扑与收敛-5
4.png


拓扑与收敛-6
5.png


拓扑与收敛-7
6.png


拓扑与收敛-8
7.png

PreferenceforMathematics
5楼2015-05-11 08:13:44
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