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Orlicz

金虫 (小有名气)

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[求助] 拓扑与收敛已有2人参与

我们知道，赋范线性空间中强拓扑与弱拓扑等价的充要条件是其为有限维的，是否可以说当空间中序列强收敛与弱收敛等价时，空间就是有限维呢？但结果肯定并不是这样了，因为在 $l_1$ 中，序列的强收敛与弱收敛等价。所以请教一下大侠，问题出在什么地方？谢谢！

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1楼2015-05-10 15:59:10

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【答案】应助回帖

★ ★ ★
Orlicz(feixiaolin代发): 金币+3 2015-05-11 17:57:08

楼主所举的反例，就已经否定了命题“赋范线性空间中强拓扑与弱拓扑等价的充要条件是其为有限维的”了。
记得对于赋范线性空间B*而言，有限维等价于“单位球面是列紧的”；而当空间是无穷维时，出现了单位球面紧性缺失的情形（即“Riesz引理”）。个人推测问题可能跟“失紧性”有关。
下图中引用的文献，可能更有助于解决楼主的疑惑。