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First Steps in Differential Geometry Riemannian, Contact, Symplectic
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First Steps in Differential Geometry Riemannian, Contact, Symplectic Contents 1 Basic Objects and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Linear Algebra Essentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Constructing Subspaces I: Spanning Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Linear Independence, Basis, and Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5 Linear Transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.6 Constructing Linear Transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.7 Constructing Subspaces II: Subspaces and Linear Transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.8 The Dual of a Vector Space, Forms, and Pullbacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.9 Geometric Structures I: Inner Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.10 Geometric Structures II: Linear Symplectic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.11 For Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3 Advanced Calculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1 The Derivative and Linear Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2 The Tangent Space I: A Geometric Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3 Geometric Sets and Subspaces of Tp(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.4 The Tangent Space II: An Analytic Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.5 The Derivative as a Linear Map Between Tangent Spaces . . . . . . . . . . 99 3.6 Diffeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.7 Vector Fields: From Local to Global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.8 Integral Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.9 Diffeomorphisms Generated by Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.10 For Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 ix x Contents 4 Differential Forms and Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.1 The Algebra of Alternating Linear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.2 Operations on Linear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.3 Differential Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.4 Operations on Differential Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.5 Integrating Differential Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.6 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.7 The Lie Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.8 For Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 4.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5 Riemannian Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 5.1 Basic Concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 5.2 Constructing Metrics; Metrics on Geometric Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.3 The Riemannian Connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 5.4 Parallelism and Geodesics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 5.5 Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 5.6 Isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 5.7 For Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 5.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 6 Contact Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 6.1 Motivation I: Huygens’ Principle and Contact Elements . . . . . . . . . . . . 272 6.2 Motivation II: Differential Equations and Contact Elements . . . . . . . . 279 6.3 Basic Concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 6.4 Contact Diffeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 6.5 Contact Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 6.6 Darboux’s Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 6.7 Higher Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 6.8 For Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 6.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 7 Symplectic Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 7.1 Motivation: Hamiltonian Mechanics and Phase Space . . . . . . . . . . . . . . 341 7.2 Basic Concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 7.3 Symplectic Diffeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 7.4 Symplectic and Hamiltonian Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 7.5 Geometric Sets in Symplectic Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 7.6 Hypersurfaces of Contact Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 7.7 Symplectic Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 7.8 For Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 7.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 |
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