Znn3bq.jpeg
ÉÇÍ·´óѧº£Ñó¿ÆÑ§½ÓÊܵ÷¼Á
²é¿´: 700  |  »Ø¸´: 6
¡¾½±Àø¡¿ ±¾Ìû±»ÆÀ¼Û6´Î£¬×÷ÕßpkusiyuanÔö¼Ó½ð±Ò 4.6 ¸ö
µ±Ç°Ö»ÏÔʾÂú×ãÖ¸¶¨Ìõ¼þµÄ»ØÌû£¬µã»÷ÕâÀï²é¿´±¾»°ÌâµÄËùÓлØÌû

pkusiyuan

Òø³æ (ÕýʽдÊÖ)


[×ÊÔ´] First Steps in Differential Geometry Riemannian, Contact, Symplectic

First Steps in Differential Geometry Riemannian, Contact, Symplectic
Contents
1 Basic Objects and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Linear Algebra Essentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Constructing Subspaces I: Spanning Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Linear Independence, Basis, and Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Linear Transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Constructing Linear Transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Constructing Subspaces II: Subspaces and Linear
Transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8 The Dual of a Vector Space, Forms, and Pullbacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.9 Geometric Structures I: Inner Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.10 Geometric Structures II: Linear Symplectic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.11 For Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Advanced Calculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1 The Derivative and Linear Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 The Tangent Space I: A Geometric Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Geometric Sets and Subspaces of Tp(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4 The Tangent Space II: An Analytic Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.5 The Derivative as a Linear Map Between Tangent Spaces . . . . . . . . . . 99
3.6 Diffeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.7 Vector Fields: From Local to Global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.8 Integral Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.9 Diffeomorphisms Generated by Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.10 For Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
ix
x Contents
4 Differential Forms and Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.1 The Algebra of Alternating Linear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.2 Operations on Linear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.3 Differential Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.4 Operations on Differential Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.5 Integrating Differential Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.6 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.7 The Lie Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.8 For Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5 Riemannian Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.1 Basic Concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.2 Constructing Metrics; Metrics on Geometric Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.3 The Riemannian Connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.4 Parallelism and Geodesics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.5 Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.6 Isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.7 For Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6 Contact Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.1 Motivation I: Huygens¡¯ Principle and Contact Elements . . . . . . . . . . . . 272
6.2 Motivation II: Differential Equations and Contact Elements . . . . . . . . 279
6.3 Basic Concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.4 Contact Diffeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
6.5 Contact Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
6.6 Darboux¡¯s Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
6.7 Higher Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
6.8 For Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
7 Symplectic Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
7.1 Motivation: Hamiltonian Mechanics and Phase Space . . . . . . . . . . . . . . 341
7.2 Basic Concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
7.3 Symplectic Diffeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
7.4 Symplectic and Hamiltonian Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
7.5 Geometric Sets in Symplectic Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
7.6 Hypersurfaces of Contact Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
7.7 Symplectic Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
7.8 For Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
7.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
»Ø¸´´ËÂ¥

» ±¾Ìû¸½¼þ×ÊÔ´Áбí

» ÊÕ¼±¾ÌûµÄÌÔÌûר¼­ÍƼö

¼ÆËãÊýѧ

» ²ÂÄãϲ»¶

ÒÑÔÄ   »Ø¸´´ËÂ¥   ¹Ø×¢TA ¸øTA·¢ÏûÏ¢ ËÍTAºì»¨ TAµÄ»ØÌû

ÈË×߲費Á¹

Òø³æ (Ö°Òµ×÷¼Ò)


¡ï¡ï¡ï ÈýÐǼ¶,Ö§³Ö¹ÄÀø

ÂúÑÛ¶¼ÊǺÃÊ飬¿Éϧûʱ¼ä¶Á
5Â¥2015-03-26 08:21:52
ÒÑÔÄ   »Ø¸´´ËÂ¥   ¹Ø×¢TA ¸øTA·¢ÏûÏ¢ ËÍTAºì»¨ TAµÄ»ØÌû
²é¿´È«²¿ 7 ¸ö»Ø´ð
¼òµ¥»Ø¸´
anmingkang4Â¥
2015-03-24 08:18   »Ø¸´  
ÎåÐÇºÃÆÀ  ¶¥Ò»Ï£¬¸Ðл·ÖÏí£¡
wangth09213Â¥
2015-03-23 14:50   »Ø¸´  
ÎåÐÇºÃÆÀ  ¶¥Ò»Ï£¬¸Ðл·ÖÏí£¡
luxiaoxmc7Â¥
2016-07-25 12:52   »Ø¸´  
ÎåÐÇºÃÆÀ  ¶¥Ò»Ï£¬¸Ðл·ÖÏí£¡
zhouzihua6Â¥
2016-06-01 07:00   »Ø¸´  
ÎåÐÇºÃÆÀ  ¶¥Ò»Ï£¬¸Ðл·ÖÏí£¡
¡î ÎÞÐǼ¶ ¡ï Ò»ÐǼ¶ ¡ï¡ï¡ï ÈýÐǼ¶ ¡ï¡ï¡ï¡ï¡ï ÎåÐǼ¶
×î¾ßÈËÆøÈÈÌûÍÆ¼ö [²é¿´È«²¿] ×÷Õß »Ø/¿´ ×îºó·¢±í
[¿¼ÑÐ] ¿ÒÇëÓÐѧУÊÕÁô +3 ¿Â»´È» 2026-04-12 3/150 2026-04-14 16:25 by ÄæË®³Ë·ç
[¿¼ÑÐ] 335Çóµ÷¼Á +19 ÏëÉϰ¶Ñ½£¡£¡ 2026-04-12 21/1050 2026-04-14 16:23 by Art1977
[¿¼ÑÐ] 366Çóµ÷¼Á +11 ²»ÖªÃûµÄСئ 2026-04-11 11/550 2026-04-14 15:50 by zs92450
[¿¼ÑÐ] ¿¼Ñе÷¼Á +13 ³¤¹­°Á 2026-04-13 14/700 2026-04-14 14:44 by zs92450
[¿¼ÑÐ] 291 Çóµ÷¼Á +36 »¯¹¤2026½ì±ÏÒµÉ 2026-04-09 36/1800 2026-04-14 13:20 by µÚÒ»ÌìºÃ
[¿¼ÑÐ] È˹¤ÖÇÄÜ320µ÷¼Á08¹¤À໹Óлú»áÂð +18 Õñ¡ªTZ 2026-04-10 19/950 2026-04-14 10:34 by screening
[¿¼ÑÐ] Ò»Ö¾Ô¸085802 323·ÖÇóµ÷¼Á +13 drizzle_9 2026-04-12 14/700 2026-04-13 10:26 by Faiz5552
[¿¼ÑÐ] 322Çóµ÷¼Á£¬08¹¤¿Æ +4 ½ñÌìÊǸöСºÅ 2026-04-08 4/200 2026-04-13 00:20 by baobaoye
[¿¼ÑÐ] 280Çóµ÷¼Á +7 ÙâÙâÒ¹Ò¹ 2026-04-09 10/500 2026-04-12 00:33 by À¶ÔÆË¼Óê
[¿¼ÑÐ] 22408µ÷¼Á315·Ö +3 zhuangyan123 2026-04-09 3/150 2026-04-12 00:25 by À¶ÔÆË¼Óê
[¿¼ÑÐ] 277 ÊýÒ»104£¬Ñ§Ë¶£¬Çóµ÷¼Á +21 Æ¿×ÓPZ 2026-04-09 23/1150 2026-04-11 23:12 by labixiaoqiao
[¿¼ÑÐ] Ò»Ö¾Ô¸±±Àí¹¤298Ó¢Ò»Êý¶þÒÑÉϰ¶£¬¸Ðл¸÷λÀÏʦ +14 Reframe 2026-04-10 16/800 2026-04-10 23:07 by caotw2020
[¿¼ÑÐ] 263ÄÜÔ´¶¯Á¦×¨Ë¶Çóµ÷¼Á +3 ¼Ó´óºÅ·¹ºÐ´ü 2026-04-10 3/150 2026-04-10 22:23 by 286640313
[¿¼ÑÐ] µ÷¼Á +19 СÕÅZA 2026-04-10 20/1000 2026-04-10 22:08 by Öí»á·É
[¿¼ÑÐ] ³õÊÔ261 +3 AshtÉÙ 2026-04-10 6/300 2026-04-10 16:38 by AshtÉÙ
[¿¼ÑÐ] 282£¬µçÆø¹¤³Ìרҵ£¬Çóµ÷¼Á£¬²»Ìôרҵ +9 jggshjkkm 2026-04-10 9/450 2026-04-10 14:55 by ÄæË®³Ë·ç
[¿¼ÑÐ] Ò»Ö¾Ô¸»ª¶«Ê¦·¶ÉúÎïѧ326·Ö£¬Çóµ÷¼Á +8 Áõīī 2026-04-09 8/400 2026-04-10 12:00 by pengliang8036
[¿¼ÑÐ] 332£¬085601Çóµ÷¼Á +12 ydfyh 2026-04-09 14/700 2026-04-09 17:28 by wp06
[ÂÛÎÄͶ¸å] ÇóÖúÎÄÏ×Ô­ÎÄ 10+3 18500821399 2026-04-08 3/150 2026-04-09 16:56 by ±±¾©À³ÒðÈóÉ«
[¿¼ÑÐ] 334Çóµ÷¼Á +16 Riot2025 2026-04-08 17/850 2026-04-09 09:28 by wdyheheeh
ÐÅÏ¢Ìáʾ
ÇëÌî´¦ÀíÒâ¼û