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| 各位大神求证明！证明任意一个边数不为0的简单图G，都含有一个二部生成子图H，该子图H两部分的顶点数目差绝对值不超过1，且子图H中的边数目e(H)>1/2*e(G) |
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sskkyy
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【答案】应助回帖
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如果不要求二部图两部分顶点数最多相差1，这是教科书上标准的内容，下面是个大致证明。 你看这样证明可不可以： Step 1. 把点V(G)分成两部分X,Y,使得X,Y中点的个数最多相差1. Step 2. 先取H为由X,Y生成的二部图，即对G除去端点含在X（或者Y）中的边。 如果e(H)>1/2*e(G), 那么证明完毕。 对X中的每个点v, 如果度d_H(v)<1/2*d_G(v), 那么把点v移到Y中。注意此时d_H(v)>=1/2*d_G(v). 因为X为有限集合，有限部后终止。 Step 3. 因为每个顶点v 都有d_H(v)>=1/2*d_G(v)， 所以2e(H) = \sum d_H(v) >= 1/2* \sum d_G(v) = e(G). 注意到如果有一个v使得d_H(v)>1/2*d_G(v)， 那么上面的不等式是严格的，即2e(H)>e(G)。 Step 4. 假设对所有的v，d_H(v)=1/2*d_G(v)。 把X中的任意顶点v与它在Y中的某个相邻顶点u对换，那么就会发现d_H(v)>1/2*d_G(v). 化简为讨论过的情形了。 |
4楼2015-03-10 14:29:37
sskkyy
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2楼2015-03-09 17:07:51
3楼2015-03-10 08:17:06
sskkyy
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【答案】应助回帖
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napoleon_999: 金币+40, ★有帮助 2015-03-10 18:58:54
napoleon_999: 金币+40, ★有帮助 2015-03-10 18:58:54
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下面证明这样的二部图可以取为两部分的顶点数最多相差1. 如果你在最特殊的G，比如G本身就是二部图，的情形想明白了，一般的情况可以类似的证明。 假设已经有二部图H满足了边的关系e(H)>1/2*e(G)。因为考虑的是有限图，可以假设适当选取这样的H使得|Y|-|X|>=0，并且这个差是最小的。假设|Y|-|X|>1，我们证明将会有矛盾发生。通过上述证明发现d_H(v)>=1/2*d_G(v)， 即2d_H(v)>=d_G(v)， 设d'(v)=d_G(v) - d_H(v)。假设d'(v0)为{d'(v): v \in Y}集合中的最小者，那么把v0 移到X中，直接检验可知e(H)>1/2*e(G)任然成立，但是|Y|-|X|变小了。 |
5楼2015-03-10 14:40:02