应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜    

小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 运筹学与控制论 » 图论
121/2返回列表12下一页
查看: 1743  |  回复: 11
只看楼主 @他人 存档 新回复提醒 (忽略) 收藏    在APP中查看

napoleon_999

木虫 (小有名气)

[求助] 图论 已有1人参与

各位大神求证明！证明任意一个边数不为0的简单图G，都含有一个二部生成子图H，该子图H两部分的顶点数目差绝对值不超过1，且子图H中的边数目e(H)>1/2*e(G)
回复此楼

» 猜你喜欢
1楼 2015-03-09 13:03:35
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
napoleon_999: 金币+40, ★有帮助 2015-03-10 18:58:54
引用回帖:
3楼: Originally posted by napoleon_999 at 2015-03-10 08:17:06
首先H是G的子图，其次H中的顶点就是G中的所有顶点...

下面证明这样的二部图可以取为两部分的顶点数最多相差1.
如果你在最特殊的G，比如G本身就是二部图，的情形想明白了，一般的情况可以类似的证明。
假设已经有二部图H满足了边的关系e(H)>1/2*e(G)。因为考虑的是有限图，可以假设适当选取这样的H使得|Y|-|X|>=0，并且这个差是最小的。假设|Y|-|X|>1，我们证明将会有矛盾发生。通过上述证明发现d_H(v)>=1/2*d_G(v)， 即2d_H(v)>=d_G(v)， 设d'(v)=d_G(v) - d_H(v)。假设d'(v0)为{d'(v): v \in Y}集合中的最小者，那么把v0 移到X中，直接检验可知e(H)>1/2*e(G)任然成立，但是|Y|-|X|变小了。
赞一下(1人) 回复此楼
5楼2015-03-10 14:40:02
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
普通回帖

sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
”二部生成子图H“，里的”生成“，是什么意思呢？二部图中任意点之间的边都算作H里面的吗？还是H本身就是个二部图，它能生成整个图？
赞一下 回复此楼
2楼2015-03-09 17:07:51
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

napoleon_999

木虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by sskkyy at 2015-03-09 17:07:51
”二部生成子图H“，里的”生成“，是什么意思呢？二部图中任意点之间的边都算作H里面的吗？还是H本身就是个二部图，它能生成整个图？

首先H是G的子图，其次H中的顶点就是G中的所有顶点
赞一下 回复此楼
3楼2015-03-10 08:17:06
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
3楼: Originally posted by napoleon_999 at 2015-03-10 08:17:06
首先H是G的子图，其次H中的顶点就是G中的所有顶点...

如果不要求二部图两部分顶点数最多相差1，这是教科书上标准的内容，下面是个大致证明。
你看这样证明可不可以：
Step 1. 把点V(G)分成两部分X,Y,使得X,Y中点的个数最多相差1.
Step 2. 先取H为由X,Y生成的二部图，即对G除去端点含在X（或者Y）中的边。
如果e(H)>1/2*e(G), 那么证明完毕。
对X中的每个点v, 如果度d_H(v)<1/2*d_G(v), 那么把点v移到Y中。注意此时d_H(v)>=1/2*d_G(v). 因为X为有限集合，有限部后终止。
Step 3. 因为每个顶点v 都有d_H(v)>=1/2*d_G(v)， 所以2e(H) = \sum d_H(v) >= 1/2* \sum d_G(v) = e(G).
注意到如果有一个v使得d_H(v)>1/2*d_G(v)， 那么上面的不等式是严格的，即2e(H)>e(G)。
Step 4. 假设对所有的v，d_H(v)=1/2*d_G(v)。
把X中的任意顶点v与它在Y中的某个相邻顶点u对换，那么就会发现d_H(v)>1/2*d_G(v). 化简为讨论过的情形了。
赞一下 回复此楼
4楼2015-03-10 14:29:37
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

napoleon_999

木虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by sskkyy at 2015-03-10 14:29:37
如果不要求二部图两部分顶点数最多相差1，这是教科书上标准的内容，下面是个大致证明。
你看这样证明可不可以：
Step 1. 把点V(G)分成两部分X,Y,使得X,Y中点的个数最多相差1.
Step 2. 先取H为由X,Y生成的二部图 ...

谢谢你！不过还是有些地方看不太懂，比如说第6行定义的应该是顶点v是X中的顶点，所以再进行step3之后保证的只能是对于X中的所有顶点v都有d_H(v)>=1/2*d_G(v)，而要得出2e(H) = \sum d_H(v) >= 1/2* \sum d_G(v) = e(G)这个结论恐怕需要对于X和Y中的所有顶点v都有d_H(v)>=1/2*d_G(v)，而我觉得要保证Y中的顶点可能是不这么容易的。
赞一下 回复此楼
6楼2015-03-10 18:57:01
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

napoleon_999

木虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by sskkyy at 2015-03-10 14:40:02
下面证明这样的二部图可以取为两部分的顶点数最多相差1.
如果你在最特殊的G，比如G本身就是二部图，的情形想明白了，一般的情况可以类似的证明。
假设已经有二部图H满足了边的关系e(H)>1/2*e(G)。因为考虑的是 ...

这个我也有认真的看。但是最后一句话”假设d'(v0)为{d'(v): v \in Y}集合中的最小者，那么把v0 移到X中，直接检验可知e(H)>1/2*e(G)任然成立，但是|Y|-|X|变小了。“我还是不能明白为什么。不管怎么说，还是谢谢你！
赞一下 回复此楼
7楼2015-03-10 18:58:44
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

sskkyy

银虫 (正式写手)
内容已删除
回复此楼
8楼2015-03-10 19:19:57
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

napoleon_999

木虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by sskkyy at 2015-03-10 19:19:57
你说的对，对X与Y都要做这种操作。可以直接检验如果2d_H（v)< d_G(v) for v in X.那么当x移动到Y之后，不等号就反过来了，也就是x不会再从Y移到X。
...

举一个例子吧，比如说v1和v2都是X中的顶点，且对于v1和v2都有d_H(v1)<1/2*d_G(v1)和d_H(v2)+1<1/2*d_G(v2)，其中v1v2是G中的一条边，而且有d_H(v1)=4，d_G(v1)=9，则根据上面说的，v1应该从X移到Y中，则v2也应该从X移到Y中，但是此时考虑v1，d_H(v1)依旧为4，不及d_G(v1)=9的一半，所以v1还得从Y移回X。
赞一下 回复此楼
9楼2015-03-10 19:54:28
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

sskkyy

银虫 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by napoleon_999 at 2015-03-10 19:54:28
举一个例子吧，比如说v1和v2都是X中的顶点，且对于v1和v2都有d_H(v1)<1/2*d_G(v1)和d_H(v2)+1<1/2*d_G(v2)，其中v1v2是G中的一条边，而且有d_H(v1)=4，d_G(v1)=9，则根据上面说的，v1应该从X移到Y中，则v2也 ...

下面这个链接或许对你有所帮助：http://math.stackexchange.com/qu ... -bipartite-subgraph 。
能问一下：你考虑这个问题的背景是什么？还是只是一个练习？
赞一下 回复此楼
10楼2015-03-11 10:48:11
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
相关版块跳转 我要订阅楼主 napoleon_999 的主题更新
121/2返回列表12下一页
普通表情 龙 兔 虎 猫
最具人气热帖推荐 [查看全部] 作者 回/看 最后发表
[考研] 材料工程专硕调剂 +5 204818@lcx 2026-03-17 6/300 2026-03-18 22:55 by 204818@lcx
[考研] 085700资源与环境308求调剂 +3 墨墨漠 2026-03-18 3/150 2026-03-18 22:35 by bingxueer79
[考研] 一志愿中海洋材料工程专硕330分求调剂 +5 小材化本科 2026-03-18 5/250 2026-03-18 21:53 by 无懈可击111
[考研] 一志愿天津大学化学工艺专业（081702）315分求调剂 +10 yangfz 2026-03-17 10/500 2026-03-18 20:14 by walc
[考研] 314求调剂 +8 无懈可击的巨人 2026-03-12 8/400 2026-03-18 14:50 by haxia
[考研] 08工科 320总分 求调剂 +5 梨花珞晚风 2026-03-17 5/250 2026-03-18 14:49 by haxia
[考研] 311求调剂 +6 26研0 2026-03-15 6/300 2026-03-18 14:43 by haxia
[考研] 材料专硕274一志愿陕西师范大学求调剂 +6 薛云鹏 2026-03-13 6/300 2026-03-18 14:14 by 脱颖而出
[考研] 070300化学319求调剂 +6 锦鲤0909 2026-03-17 6/300 2026-03-18 13:22 by Iveryant
[考研] 290求调剂 +6 孔志浩 2026-03-12 11/550 2026-03-17 14:41 by 周舟舟77
[考研] 材料与化工专硕调剂 +5 heming3743 2026-03-16 5/250 2026-03-17 14:03 by 勇敢太监王公公
[考研] 333求调剂 +3 文思客 2026-03-16 7/350 2026-03-16 18:21 by 文思客
[考研] 0854控制工程 359求调剂 可跨专业 +3 626776879 2026-03-14 9/450 2026-03-16 17:42 by 626776879
[考研] 070300化学学硕求调剂 +6 太想进步了0608 2026-03-16 6/300 2026-03-16 16:13 by kykm678
[考研] 材料080500调剂求收留 +3 一颗meteor 2026-03-13 3/150 2026-03-14 10:54 by peike
[考研] 招收0805（材料）调剂 +3 18595523086 2026-03-13 3/150 2026-03-14 00:33 by 123%、
[考研] 0856材料与化工301求调剂 +5 奕束光 2026-03-13 5/250 2026-03-13 22:00 by 星空星月
[考研] 工科材料085601 279求调剂 +8 困于星晨 2026-03-12 10/500 2026-03-13 15:42 by ms629
[考研] 0817化学工程与技术考研312分调剂 +3 T123 tt 2026-03-12 3/150 2026-03-13 10:49 by houyaoxu
[考研] 290求调剂 +3 ADT 2026-03-13 3/150 2026-03-13 10:19 by peike
信息提示
关闭
请填处理意见
关闭