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napoleon_999

木虫 (小有名气)

[求助] 图论 已有1人参与

各位大神求证明！证明任意一个边数不为0的简单图G，都含有一个二部生成子图H，该子图H两部分的顶点数目差绝对值不超过1，且子图H中的边数目e(H)>1/2*e(G)
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1楼 2015-03-09 13:03:35
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
napoleon_999: 金币+40, ★有帮助 2015-03-10 18:58:54
引用回帖:
3楼: Originally posted by napoleon_999 at 2015-03-10 08:17:06
首先H是G的子图，其次H中的顶点就是G中的所有顶点...

下面证明这样的二部图可以取为两部分的顶点数最多相差1.
如果你在最特殊的G，比如G本身就是二部图，的情形想明白了，一般的情况可以类似的证明。
假设已经有二部图H满足了边的关系e(H)>1/2*e(G)。因为考虑的是有限图，可以假设适当选取这样的H使得|Y|-|X|>=0，并且这个差是最小的。假设|Y|-|X|>1，我们证明将会有矛盾发生。通过上述证明发现d_H(v)>=1/2*d_G(v)， 即2d_H(v)>=d_G(v)， 设d'(v)=d_G(v) - d_H(v)。假设d'(v0)为{d'(v): v \in Y}集合中的最小者，那么把v0 移到X中，直接检验可知e(H)>1/2*e(G)任然成立，但是|Y|-|X|变小了。
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5楼2015-03-10 14:40:02
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
”二部生成子图H“，里的”生成“，是什么意思呢？二部图中任意点之间的边都算作H里面的吗？还是H本身就是个二部图，它能生成整个图？
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2楼2015-03-09 17:07:51
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napoleon_999

木虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by sskkyy at 2015-03-09 17:07:51
”二部生成子图H“，里的”生成“，是什么意思呢？二部图中任意点之间的边都算作H里面的吗？还是H本身就是个二部图，它能生成整个图？

首先H是G的子图，其次H中的顶点就是G中的所有顶点
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3楼2015-03-10 08:17:06
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
3楼: Originally posted by napoleon_999 at 2015-03-10 08:17:06
首先H是G的子图，其次H中的顶点就是G中的所有顶点...

如果不要求二部图两部分顶点数最多相差1，这是教科书上标准的内容，下面是个大致证明。
你看这样证明可不可以：
Step 1. 把点V(G)分成两部分X,Y,使得X,Y中点的个数最多相差1.
Step 2. 先取H为由X,Y生成的二部图，即对G除去端点含在X（或者Y）中的边。
如果e(H)>1/2*e(G), 那么证明完毕。
对X中的每个点v, 如果度d_H(v)<1/2*d_G(v), 那么把点v移到Y中。注意此时d_H(v)>=1/2*d_G(v). 因为X为有限集合，有限部后终止。
Step 3. 因为每个顶点v 都有d_H(v)>=1/2*d_G(v)， 所以2e(H) = \sum d_H(v) >= 1/2* \sum d_G(v) = e(G).
注意到如果有一个v使得d_H(v)>1/2*d_G(v)， 那么上面的不等式是严格的，即2e(H)>e(G)。
Step 4. 假设对所有的v，d_H(v)=1/2*d_G(v)。
把X中的任意顶点v与它在Y中的某个相邻顶点u对换，那么就会发现d_H(v)>1/2*d_G(v). 化简为讨论过的情形了。
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4楼2015-03-10 14:29:37
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napoleon_999

木虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by sskkyy at 2015-03-10 14:29:37
如果不要求二部图两部分顶点数最多相差1，这是教科书上标准的内容，下面是个大致证明。
你看这样证明可不可以：
Step 1. 把点V(G)分成两部分X,Y,使得X,Y中点的个数最多相差1.
Step 2. 先取H为由X,Y生成的二部图 ...

谢谢你！不过还是有些地方看不太懂，比如说第6行定义的应该是顶点v是X中的顶点，所以再进行step3之后保证的只能是对于X中的所有顶点v都有d_H(v)>=1/2*d_G(v)，而要得出2e(H) = \sum d_H(v) >= 1/2* \sum d_G(v) = e(G)这个结论恐怕需要对于X和Y中的所有顶点v都有d_H(v)>=1/2*d_G(v)，而我觉得要保证Y中的顶点可能是不这么容易的。
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6楼2015-03-10 18:57:01
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napoleon_999

木虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by sskkyy at 2015-03-10 14:40:02
下面证明这样的二部图可以取为两部分的顶点数最多相差1.
如果你在最特殊的G，比如G本身就是二部图，的情形想明白了，一般的情况可以类似的证明。
假设已经有二部图H满足了边的关系e(H)>1/2*e(G)。因为考虑的是 ...

这个我也有认真的看。但是最后一句话”假设d'(v0)为{d'(v): v \in Y}集合中的最小者，那么把v0 移到X中，直接检验可知e(H)>1/2*e(G)任然成立，但是|Y|-|X|变小了。“我还是不能明白为什么。不管怎么说，还是谢谢你！
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7楼2015-03-10 18:58:44
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sskkyy

银虫 (正式写手)
内容已删除
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8楼2015-03-10 19:19:57
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napoleon_999

木虫 (小有名气)
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8楼: Originally posted by sskkyy at 2015-03-10 19:19:57
你说的对，对X与Y都要做这种操作。可以直接检验如果2d_H（v)< d_G(v) for v in X.那么当x移动到Y之后，不等号就反过来了，也就是x不会再从Y移到X。
...

举一个例子吧，比如说v1和v2都是X中的顶点，且对于v1和v2都有d_H(v1)<1/2*d_G(v1)和d_H(v2)+1<1/2*d_G(v2)，其中v1v2是G中的一条边，而且有d_H(v1)=4，d_G(v1)=9，则根据上面说的，v1应该从X移到Y中，则v2也应该从X移到Y中，但是此时考虑v1，d_H(v1)依旧为4，不及d_G(v1)=9的一半，所以v1还得从Y移回X。
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9楼2015-03-10 19:54:28
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sskkyy

银虫 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by napoleon_999 at 2015-03-10 19:54:28
举一个例子吧，比如说v1和v2都是X中的顶点，且对于v1和v2都有d_H(v1)<1/2*d_G(v1)和d_H(v2)+1<1/2*d_G(v2)，其中v1v2是G中的一条边，而且有d_H(v1)=4，d_G(v1)=9，则根据上面说的，v1应该从X移到Y中，则v2也 ...

下面这个链接或许对你有所帮助：http://math.stackexchange.com/qu ... -bipartite-subgraph 。
能问一下：你考虑这个问题的背景是什么？还是只是一个练习？
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10楼2015-03-11 10:48:11
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