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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 空间平面截已知六面体求截面
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fangdian

木虫 (正式写手)

[求助] 空间平面截已知六面体求截面 已有1人参与

各位大侠：
    请教一个问题：一个空间平面截一个已知的平行六面体（限定为长方体也行），能得到两半的体积。假设该空间平面的法向量已知{a,b,c}，六面体的6个面的法向量以及六面体的8个顶点坐标已知，并且得到的两半体积的体积比也是已知的，如何较快速的求出该平面截这个六面体得到的截面积大小？谢谢

ps：我是学工科的，这个问题的方法会在我编程的时候用到，所以希望回答使得我具有可操作性，谢谢哈
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1楼 2015-01-25 23:41:52
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weft

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
fangdian: 金币+20, ★有帮助, 谢谢参与，我认真学习了 2015-01-27 08:55:11
我给个思路，不一定对，没来得及细想，如有不对请版上大神补充。
首先，这个问题的答案可能不唯一，可能有三个答案（理由见下面的分析）；
其次，“体积比”这个条件可能是多余的，不需要这个条件似乎也能解（理由同样见下）；
解释一下我的思路：方法是体积法，
第一步，因为顶点坐标全都知道，所以很容易用空间解析几何的向量混合积算出平行六面体的体积，记为V.
第二步，利用高中的技巧，将该平行六面体沿截面切开，重新拼接成一个平行六面体，显然体积不会变化。设截面面积为S，新的平行六面体的高为h，则S=V/h，可见关键在于求出h.
第三步，求h. 这个h应该是原平行六面体的棱在截平面的法方向的投影长度，由于平行六面体的棱的长度有三个，所以投影长度也应该有三种可能性，从而截面积有三种答案。
第四步，求投影长度很容易，向量的内积而已。每条棱都是两个顶点决定的一个向量，它在法方向的投影长度用内积很容易计算。
我能想到的就这么多，不知道是不是有遗漏或者错误。从这个方案来看不需要用到体积比。其实你想象一下用平行平面去截一个长方体，虽然截出来的体积比不一样，但显然截面面积都是一样的，所以体积比应该不构成问题答案的参数。
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2楼2015-01-26 01:59:26
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fangdian

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by weft at 2015-01-26 01:59:26
我给个思路，不一定对，没来得及细想，如有不对请版上大神补充。
首先，这个问题的答案可能不唯一，可能有三个答案（理由见下面的分析）；
其次，“体积比”这个条件可能是多余的，不需要这个条件似乎也能解（理由 ...

有个疑问:
   你求投影长度的时候，由于截平面的位置没有确定，所以它在法方向的投影长度也是不固定的？
   给定体积比，这样是不是就是让这个投影长度固定？
谢谢
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3楼2015-01-26 19:48:26
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fangdian

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by weft at 2015-01-26 01:59:26
我给个思路，不一定对，没来得及细想，如有不对请版上大神补充。
首先，这个问题的答案可能不唯一，可能有三个答案（理由见下面的分析）；
其次，“体积比”这个条件可能是多余的，不需要这个条件似乎也能解（理由 ...

而且还有一个问题：
   界面分为5类，如下图：
空间平面截已知六面体求截面

不知道需要在算法上分类不？
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4楼2015-01-26 22:27:00
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fangdian

木虫 (正式写手)
如果已知一个多面体的每个面的法向以及该切面的法向方向，以及切后的体积比，不知道这种好做不？
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5楼2015-01-27 09:31:22
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fangdian

木虫 (正式写手)
目前我能想到的一个可能的思路：
   1 通过已知的空间平面的法向量{a,b,c}，表示出该平面方程(E为常数)：
  ax+by+cz=E     （1）
2 将六面体的8个坐标代入该方程，得出最大的Emax和最小的Emin值，并记录对应的顶点坐标值，顶点分别记为
  A(xmin,ymin,zmin),B(xmax,ymax,zmax)
3 设置循环程序，采用二分法在AB点循环（如第一步求出A和B的中点，带入方程1，得到相应的E1），于是得到相应的平面方程。
4 求平面方程和六面体的各个棱的交点，得到形成截面的多边形的各个顶点坐标，记为(xi,yi),利用多边形面积公式，求出该多边形的面积：
  Si=∑（xi*yi+1-xi+1*yi）
同时利用凸多面体的体积公式，求出该多面体的体积：
   Vi=1/6*∑d(A0,A1,A2,......An)
其中，A0,A1,A2,......An为多面体的各个顶点坐标，d(A0,A1,A2,......An)表示由各个顶点坐标组成的行列式。

5 如果该多面体的体积和该平行六面体的体积（同样可以采用多面体体积公式求出）比等于题目设定的体积比（适当换算一下），停止二分法的循环，输出该多边形的面积，否则，继续循环，直到找到相应的E为止。

以上是一个思路。
  但是上述思路中，有几个问题：
  （1）只是知道六面体的各个顶点的坐标的话，怎么知道哪两点组成一条棱？（如果是长方体的话，能否按照某个坐标轴值相等作为组成棱的条件？？）
   （2）即使知道了通过解方程得到的多边形的各个顶点的话，怎么知道各个顶点在顺序？其实也是哪两个点组成边的问题，同样的问题还存在于求多面体的体积的时候。不知道上述多边形公式以及多面体体积公式中的坐标点是否有顺序？

  当然，总的感觉，这个思路存在很多问题，要是能有可以实现的方法就好了，谢谢大家
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6楼2015-01-27 10:21:52
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weft

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
fangdian: 金币+20, ★★★很有帮助, 基本是可以实现的，太谢谢你了。 2015-01-28 23:07:06
引用回帖:
4楼: Originally posted by fangdian at 2015-01-26 22:27:00
而且还有一个问题：
   界面分为5类，如下图：


不知道需要在算法上分类不？...

看附件
空间平面截已知六面体求截面-1
截面.png
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7楼2015-01-27 17:22:06
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weft

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
6楼: Originally posted by fangdian at 2015-01-27 10:21:52
目前我能想到的一个可能的思路：
   1 通过已知的空间平面的法向量{a,b,c}，表示出该平面方程(E为常数)：
  ax+by+cz=E     （1）
2 将六面体的8个坐标代入该方程，得出最大的Emax和最小的Emin值，并记录对应的 ...

你这个方法跟我的想到一块去了,关键都是要用到所谓的高度函数. 不过我觉得不用二分法吧,我的补充方案中只要有限次比对就行了.另外,我的方法中还是没用上体积比.我觉得这个量应该是结果而不是条件.按照我的记号,体积比显然是参数\lambda的连续函数,而且应该还有某些可微性,我猜测不可微的地方发生在平面通过平行六面体的顶点的时候.
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8楼2015-01-27 17:29:21
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李家小欣

银虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

实际问题可以看做是将一个密度为ρ1的平行六面体放进密度为ρ2的液体中液体处于上下面积恒定且足够大的容器中。液体平面为空间已知平面；求六面体排开液体时，液体表面的面积的减少量
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9楼2015-03-08 18:04:55
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