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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 求最小化问题，秩非1矩阵的分解，急！！！！！！！！！！！
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wowhow

新虫 (小有名气)

[求助] 求最小化问题，秩非1矩阵的分解，急！！！！！！！！！！！ 已有2人参与

最小化问题如下：
min || xx^H-A ||
求出使得上式最小的x。
其中x为向量，x^H为x的共轭转置，A为矩阵。
如果A的秩为1，显然A可以写成A=aa^H的形式，最小化上式的解为x=a；
但是现在A的秩不为1，有没有什么理论的推导或解析可以求出最优的x？不想用matlab工具箱等数值方法。
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1楼 2014-12-04 10:52:38
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suntree4152

铁虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
x应该为A的最大特征向量乘以一个常数。若问题是max || xx^H-A ||，则x对应的是A的最大特征根乘以一个常数。
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2楼2014-12-04 18:28:25
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wowhow

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by suntree4152 at 2014-12-04 18:28:25
x应该为A的最大特征向量乘以一个常数。若问题是max || xx^H-A ||，则x对应的是A的最大特征根乘以一个常数。

您好！非常感谢！能详细解释一下吗？我的问题是最小化
min || xx^H-A ||，用你的描述，
是不是解为A的最小特征向量乘以一个常数呢？这样得到的x能保证
|| xx^H-A ||最小吗？理论上怎么解释？
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3楼2014-12-04 21:35:57
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wowhow

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by suntree4152 at 2014-12-04 18:28:25
x应该为A的最大特征向量乘以一个常数。若问题是max || xx^H-A ||，则x对应的是A的最大特征根乘以一个常数。

另外，特征值有可能是复数，怎么判断最大最小呢？感谢~
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4楼2014-12-04 21:39:52
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
See webpage
http://math.stackexchange.com/qu ... ank-1-approximation

This is related to best approximation of rank 1, or rank r, in symmetric or generalized case of a matrix.
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小木虫给我温暖，给我希望，爱就要爱小木虫。
5楼2014-12-05 06:20:45
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suntree4152

铁虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
3楼: Originally posted by wowhow at 2014-12-04 21:35:57
您好！非常感谢！能详细解释一下吗？我的问题是最小化
min || xx^H-A ||，用你的描述，
是不是解为A的最小特征向量乘以一个常数呢？这样得到的x能保证
|| xx^H-A ||最小吗？理论上怎么解释？...

依你的描述， A为复数矩阵，根据A的特征根分解：
A = sum(lambda_i*v_iv_i^H), 其中lambda_i根据模从大到小排序，因此要使得||xx^H - A||最小， xx^H应该为lambda_1*v_iv_i^H, 解得x=sqrt(lambda_1)v_i.
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6楼2014-12-05 11:46:08
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