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zzrqyr

银虫 (小有名气)

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[求助] 数学专业的大神看过来已有3人参与

大家好！下面有道题目，大家帮忙做一下，小弟先在此感谢大家的帮助！

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和大家一起学习交流

1楼 2014-11-15 18:37:34

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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注册: 2013-07-03
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专业: 理论和计算化学

引用回帖:

7楼: Originally posted by hank612 at 2014-11-17 14:04:42
我不知道答案，只是顺着Pippi6的观察接龙。

由于
\int_{0}^{t}f(s)ds=\sum_{n=-\infty}^{\-1}e^{n}(e^{n+1}-e^n)+e^{\}(t-e^{\}),

化简得到
(t-\frac{e}{e+1}e^{\})e^{\}

根据\ln(t)-1\leq \ \leq \ln ...

继续分析. (不妨设 x>1 并且 $\ln(x)$ 不是整数.)

如果取序列 $\{t_n=e^n\}$ , 那么商等于
$\frac{(xe^n-\frac{e}{e+1}e^{n+\[\ln(x)\])e^{n+\[\ln(x)\]}}}{(e^n-\frac{e}{e+1}e^n)e^n}=(e+1)xe^{\[\ln(x)\]}-e^{1+2\[\ln(x)\]}$

如果取序列 $\{t_n=\frac{e^n}{x}\}$ , 由于[ln(x)]非整数, 此时 $\[\ln(t_n)\]+\[\ln(x)\]=n-1$ , 所以商等于
$\frac{(e^n-\frac{e}{e+1}e^n)e^n}{\frac{(e^n}{x}-\frac{e}{e+1}e^{\[\ln(t)\]})e^{\[\ln(t)\]}}=\frac{xe^{1+2\[\ln(x)\]}}{(e+1)e^{\[\ln(x)\]}-x}$

取 1<x<e, 即[ln(x)]=0, 一个序列为: (e+1)x-e, 另一个序列为 xe/(e+1-x). 极限不存在.

所以, 对 $x\neq e^k, k=0,1,2\dots$ , 极限基本上不存在. 当ln(x)是整数时, 极限存在且等于 $x^2$ .