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nbwhjf000

新虫 (小有名气)

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专业: 理论和计算化学

[交流] 看了“无穷个无穷小乘积为什么不是无穷小？”的帖子后已有11人参与

原帖15楼给出了一个反例，迷惑了很多人，但是这个反例实际上是错误的。

第一个因子：a1= 1×1/2 ×1/3 ×1/4× 1/5×1/6×…
第二个因子：a2= 1×2^1 ×1/3  ×1/4×  1/5×1/6×...
第三个因子：a3= 1×1    ×3^2  ×1/4×  1/5×1/6×...
第四个因子：a4= 1×1    ×1    ×4^3× 1/5×1/6×...
......
第m个因子：am= 1×1    ×1    ×1    ×1 ×1 ×...× m^(m-1) × 1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) ×...
当m为有限值时，这些因子都是无穷小量。
这些因子的乘积是
1×1×1×1×1×1×1×......

表面上看起来没什么问题，但实际上我们来看，这些因子的乘积究竟是什么？
a1 × a2 × a3 × a4 ×...× am
=1×1×1×1×1×1×...× m^(m-1) × 1/(m+1)^m × 1/(m+2)^m × 1/(m+3)^m × ......
= 1×1×1×1×1×1×...× m^(m-1) × [1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) × ......]^m
= 1×1×1×1×1×1×...× [m^(m-1) × 1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) ×......] × [1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) × ......]^(m-1)
=am × [1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) × ......]^(m-1)
注意当m趋向于无穷大时，上式的后半部分 [1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) × ......]^(m-1) 是无穷小量。
①若这个乘积趋向于1, 则am 趋向于无穷大。此时就不能说所有因子为无穷小。
②若am确实是无穷小量，则两个无穷小量的乘积必是无穷小量。则其乘积就不趋向于1。

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