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你的网格

金虫 (正式写手)

[求助] 为什么流体质点的旋转速度是涡量的1/2？ 已有1人参与

涡量从数学上看，是环量趋向某点的极限；从物理上看，是微小球状流体团对其旋转轴动量矩的度量。为什么流体质点的旋转速度是涡量的1/2？感觉学了这么久了，这个关系一直没有得到证实，书上是直接给出的，很奇怪，拿出来请教一下！
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1楼 2014-10-06 15:04:23
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hsyEsperanto

金虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by 你的网格 at 2014-10-07 11:26:17
不过对偶向量在里面我不是很理解，为什么“反对称张量（自由度为3）可由一向量表示，该向量称为对偶向量(dual vector)”。
我查了下对偶向量是这样的：存在向量空间V，和对偶空间V*, alpha属于V*，v属于V，alpha（ ...

额，没有啦，仅仅是因为我上课用的教材上有这个推导所以知道的。
你说那个我也不懂。不过我说的dual vector 正是你说的用于表示反对称张量的“某向量”。具体为什么叫这个名字我也不知道，我也没学过高代，矩阵论什么的。
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5楼2014-10-08 07:02:22
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hsyEsperanto

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
你的网格: 金币+15, ★★★★★最佳答案 2014-10-07 11:07:19
旋转速度张量你知道吗？用的是这个。
把速度求梯度，得到一张量，显然该张量表示流体中相应位置距离很近的两个质点的刚体转动和总应变之和。任一张量可以分解成一个对称张量和一反对称张量之和。易证该张量的对称部分表示总应变，反对称部分表示其刚体旋转。反对称张量（自由度为3）可由一向量表示，该向量称为对偶向量(dual vector)。（一般在讲这部分的时候都会引入向量的指数表示法index notation，证明非常方便。）。可以证明这个对偶向量恰为速度在该处的涡量（或者说涡量正是这么定义的）。此时，在用涡量表示反对称阵的时候会出现一个1/2。也就是说切向速度=反对称阵 点乘 距离r = 1/2 涡量 叉乘 距离r。所以说角速度 = 1/2 涡量。

上面说的是证明思路，因为没法用公式编辑器，没法直接给你写，得你回去自己推一下。用到的是了指数表示下的“单位交错张量alternating unit tensor”来表示叉乘运算以及 单位交错张量 乘 反对称张量 = 对偶向量，再以及 1/2 对偶张量 乘 单位交错张量 = 反对称张量。
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2楼2014-10-07 08:23:54
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金虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hsyEsperanto at 2014-10-07 08:23:54
旋转速度张量你知道吗？用的是这个。
把速度求梯度，得到一张量，显然该张量表示流体中相应位置距离很近的两个质点的刚体转动和总应变之和。任一张量可以分解成一个对称张量和一反对称张量之和。易证该张量的对称部 ...

你的张量学得很好啊！我自学的张量，很多地方不熟悉，查证捣鼓了一个早上，总算推出来了。反对称张量由于正真有用的元素就3个，所以写成交错单位张量和某向量的积。通过对流体微团运动的推导，运动=平动+转动+变形，发现正好该向量的位置对应着角速度矢量，于是把这个两个矢量对等起来。把1/2拿掉，称为涡量。多谢啦
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3楼2014-10-07 11:15:47
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金虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hsyEsperanto at 2014-10-07 08:23:54
旋转速度张量你知道吗？用的是这个。
把速度求梯度，得到一张量，显然该张量表示流体中相应位置距离很近的两个质点的刚体转动和总应变之和。任一张量可以分解成一个对称张量和一反对称张量之和。易证该张量的对称部 ...

不过对偶向量在里面我不是很理解，为什么“反对称张量（自由度为3）可由一向量表示，该向量称为对偶向量(dual vector)”。
我查了下对偶向量是这样的：存在向量空间V，和对偶空间V*, alpha属于V*，v属于V，alpha（v）=scalar。对偶向量是不是这样的：它是和v同维的向量，但是起着函数的作用，将v映射到实数R上。
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4楼2014-10-07 11:26:17
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