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vincentyoung

新虫 (初入文坛)

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[求助] 拉普拉斯变换，求解超简单的ODE，初始条件不为零怎么解决啊？？已有1人参与

初始条件不为零的微分方程用拉普拉斯变换怎么做？
y′′′ −2y′′ +5y′ =0
y(0) = 0,y′(0) = 1,y(pai/8) = 1

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1楼 2014-10-01 07:01:14

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
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feixiaolin: 金币+5 2014-10-01 10:23:19

先假设y''(0)=a 。两边拉氏变换后：
s^3*U-s^2*0-s*1-a-2*[s^2*U-s*0-1]+5*[s*U-0]=0
[s^3-2*s^2+5*s]*U=s+a-2
U=(s+a-2)/(s^3-2*s^2+5*s)
=(s+a-2)/{s*[(s-1)^2+2^2]}
=A/s+[B*(s-1)+2*C]/[(s-1)^2+2^2]
=A*1/s+B*(s-1)/[(s-1)^2+2^2]+C*2/[(s-1)^2+2^2]
由待定系数法可得：
A=
B=
C=
故y=L^(-1)[U]=A+B*e^x*Cos[2*x]+C*e^x*Sin[2*x]
将y(pai/8) = 1代入上式，从而求出a的值。最后将a代回上式便得到原微分方程的解。
解题思路已经明确，已无任何问题了，详细的计算由楼主自己进行吧。呵呵。