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拉普拉斯变换，求解超简单的ODE，初始条件不为零怎么解决啊？？ 已有1人参与
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初始条件不为零的微分方程用拉普拉斯变换怎么做？ y′′′ −2y′′ +5y′ =0 y(0) = 0,y′(0) = 1,y(pai/8) = 1 |
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feixiaolin
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2楼2014-10-01 07:59:58
3楼2014-10-01 08:18:16
peterflyer 
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feixiaolin: 金币+5 2014-10-01 10:23:19
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feixiaolin: 金币+5 2014-10-01 10:23:19
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先假设y''(0)=a 。两边拉氏变换后： s^3*U-s^2*0-s*1-a-2*[s^2*U-s*0-1]+5*[s*U-0]=0 [s^3-2*s^2+5*s]*U=s+a-2 U=(s+a-2)/(s^3-2*s^2+5*s) =(s+a-2)/{s*[(s-1)^2+2^2]} =A/s+[B*(s-1)+2*C]/[(s-1)^2+2^2] =A*1/s+B*(s-1)/[(s-1)^2+2^2]+C*2/[(s-1)^2+2^2] 由待定系数法可得： A= B= C= 故y=L^(-1)[U]=A+B*e^x*Cos[2*x]+C*e^x*Sin[2*x] 将y(pai/8) = 1代入上式，从而求出a的值。最后将a代回上式便得到原微分方程的解。 解题思路已经明确，已无任何问题了，详细的计算由楼主自己进行吧。呵呵。 |
4楼2014-10-01 09:04:35
peterflyer
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5楼2014-10-01 09:12:25
peterflyer
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vincentyoung(feixiaolin代发): 金币+2 2014-10-01 10:24:20
vincentyoung(feixiaolin代发): 金币+2 2014-10-01 10:24:20
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俗话说救人救活，杀人杀死。还是由我将其完全算出来吧。 由待定系数法： A=(a-2)/5;B=-(a-2)/5;C=(a+3)/10 y=(a-2)/5-(a-2)/5*e^x*Cos[2*x]+(a+3)/10*e^x*Sin[2*x] 将y(π/8) = 1代入上式： 1=(a-2)/5-(a-2)/5*e^(π/8)/sqrt(2)+(a+3)/10*e^(π/8)/sqrt(2) 解得：a=7 故：y=1-e^x*Cos(2*x)+e^x*Sin(2*x) 经验算，所有的条件均得到满足，因此所求的解正是原微分方程的解。 解题完毕！ |
6楼2014-10-01 09:44:29