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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 拉普拉斯变换，求解超简单的ODE，初始条件不为零怎么解决啊？？
汕头大学海洋科学接受调剂
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vincentyoung

新虫 (初入文坛)

[求助] 拉普拉斯变换，求解超简单的ODE，初始条件不为零怎么解决啊？？ 已有1人参与

初始条件不为零的微分方程用拉普拉斯变换怎么做？
y′′′ −2y′′ +5y′ =0
y(0) = 0,y′(0) = 1,y(pai/8) = 1
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1楼 2014-10-01 07:01:14
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
p=y'
p''-2p'+5p=0    p=k1*exp(-(1+2i)t) + k2*exp(-(1-2i)t)
代入条件，确定 k1, k2
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2楼2014-10-01 07:59:58
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vincentyoung

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-10-01 07:59:58
p=y'
p''-2p'+5p=0    p=k1*exp(-(1+2i)t) + k2*exp(-(1-2i)t)
代入条件，确定 k1, k2

请用拉普拉斯变换做一下，谢谢
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3楼2014-10-01 08:18:16
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
feixiaolin: 金币+5 2014-10-01 10:23:19
先假设y''(0)=a 。两边拉氏变换后：
s^3*U-s^2*0-s*1-a-2*[s^2*U-s*0-1]+5*[s*U-0]=0
[s^3-2*s^2+5*s]*U=s+a-2
U=(s+a-2)/(s^3-2*s^2+5*s)
=(s+a-2)/{s*[(s-1)^2+2^2]}
=A/s+[B*(s-1)+2*C]/[(s-1)^2+2^2]
=A*1/s+B*(s-1)/[(s-1)^2+2^2]+C*2/[(s-1)^2+2^2]
由待定系数法可得：
A=
B=
C=
故y=L^(-1)[U]=A+B*e^x*Cos[2*x]+C*e^x*Sin[2*x]
将y(pai/8) = 1代入上式，从而求出a的值。最后将a代回上式便得到原微分方程的解。
解题思路已经明确，已无任何问题了，详细的计算由楼主自己进行吧。呵呵。
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4楼2014-10-01 09:04:35
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

解这个题目只给五个金币实在太少了。呵呵。
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5楼2014-10-01 09:12:25
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★
vincentyoung(feixiaolin代发): 金币+2 2014-10-01 10:24:20
引用回帖:
5楼: Originally posted by peterflyer at 2014-10-01 09:12:25
解这个题目只给五个金币实在太少了。呵呵。

俗话说救人救活，杀人杀死。还是由我将其完全算出来吧。
由待定系数法：
A=(a-2)/5;B=-(a-2)/5;C=(a+3)/10
y=(a-2)/5-(a-2)/5*e^x*Cos[2*x]+(a+3)/10*e^x*Sin[2*x]
将y(π/8) = 1代入上式：
1=(a-2)/5-(a-2)/5*e^(π/8)/sqrt(2)+(a+3)/10*e^(π/8)/sqrt(2)
解得：a=7
故：y=1-e^x*Cos(2*x)+e^x*Sin(2*x)
经验算，所有的条件均得到满足，因此所求的解正是原微分方程的解。
解题完毕！
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6楼2014-10-01 09:44:29
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