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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 基础物理 » 角动量算符 作用于 二维谐振子波函数的角动量后 物理意义是什么？
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signo

新虫 (正式写手)

[求助] 角动量算符 作用于 二维谐振子波函数的角动量后 物理意义是什么？

在直角坐标系下，二维谐振子势第一激发态的波函数是psi (01)  psi (10),

请问如果用角动量算符 lz 作用于这两个简并态，为什么值为0呢，
<psi (01)| lz |psi (01)> =0,
<psi (10)| lz |psi (10)> =0,

<psi (01)| lz |psi (10)>   却不等于0.



(1) 这两个在直角坐标系下解出来的波函数是能量算符的本征态，而不是角动量算符的本征函数，对于角动量来说出现上面情况应该用什么物理内容来解释呢？

(2) 如果在球坐标系中，得到的是哈密顿量和轨道角动量的共同本征函数，所以角动量算符作用于自身的话得到的是本征值。

有点乱啊，理解不清楚。
角动量算符  作用于  二维谐振子波函数的角动量后  物理意义是什么？
1.png


角动量算符  作用于  二维谐振子波函数的角动量后  物理意义是什么？-1
2.jpg
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1楼 2014-10-01 01:52:33
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fyl7

铁杆木虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
我只能给出个大概的解释，具体细节我也不是十分清楚。
第一问，原来的能量简并态在某些外场作用下会“去简并”，比较明显的例子是原子在磁场中的一些能级分裂，比如塞曼分裂。这里的情形是类似的。
第二问，我不清楚计算的细节。但是从基本原理来看，这似乎不太可能。因为第一问说明哈密顿量与角动量lz不对易，这个不对易似乎不依赖坐标系的选取吧。你觉得呢？
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2楼2014-10-01 11:47:42
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walk1997

金虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
建议把各个力学量算符在直角坐标下的具体形式写下来 可能就清楚了 老老实实最具体的形式
那么
1. 在直角坐标系下，所谓的01和10指的是H_x 和 H_y的本征值吧?
这里 H_x+H_y=H  (H_x=p_x^2/2m+V())
这个时候 上面等式也能理解呀 就是L_z这个算符的前面二行二列的对角元是0，非对角元非零。
A. 可以在直角坐标下把波函数和L_z的形式写下来验证
B. 或者根据H,L关于x,p的的表达式和x,p的对易关系，可以验证

2.弄清楚了上面1，这个也就容易理解了，这个时候 选取的是H=H_x+H_y以及L_z^2为基本力学量，它们是相互对易的（因为谐振子势也是中心势），这个时候和直角坐标系对比，相当于一个表象变换，在这个表象变换下 H 还是对角的，但是L_z从非对角的变成对角的了，这个时候H_x和H_y当然也从对角的变成非对角的了。
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3楼2014-10-01 20:25:17
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walk1997

金虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
btw: 如果非要一个物理图像下的直观理解
你可以想象L_z的作用相当于一个绕着z轴的转动，所以L_z作用到波函数上，相当于把x轴转到y轴，y轴转到x轴(这个时候 只考虑转动90度这个特例，因为量子)，所以|10>在绕z轴转动90会变成|01>
所以，对角元就是0，非对角元反而不是0.
(严格点 可能应该说 Exp(I*L_z*角度) 是这样的坐标空间的转动在波函数上的诱导)
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4楼2014-10-01 20:35:57
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signo

新虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by walk1997 at 2014-10-01 20:35:57
btw: 如果非要一个物理图像下的直观理解
你可以想象L_z的作用相当于一个绕着z轴的转动，所以L_z作用到波函数上，相当于把x轴转到y轴，y轴转到x轴(这个时候 只考虑转动90度这个特例，因为量子)，所以|10>在绕z轴 ...

如果从计算出来的结果看，在直角坐标系中确实两个波函数只要旋转90°就能重合，但我想可能角动量算符的物理意义不是简单这样的，比如对于d态是三重简并，随便怎么转d1 也得不到 d2 的结果。所以角动量不能从旋转对称性来考虑。

回到在主贴提出的问题1，后来我是这么理解的，因为 Lz =坐标x  乘 动量y - 坐标y  乘 动量x

<psi (01)| lz |psi (01)>  相当于在一个方向上的坐标平均值与另一个方向上的动量平均值的乘积，所以结果是为0的，因谐振子线性运动，没一个方向上的位置或者动量平均值都为0：  可以简单化为<0|x|0>*<1|p|1>=0

<psi (01)| lz |psi (10)>则不一样了，因为<0|x|1>不等于0， <1|p|0>也不为0.

两位 ...7兄  的矩阵力学博大精深，强。
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5楼2014-10-01 21:34:10
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walk1997

金虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
5楼: Originally posted by signo at 2014-10-01 21:34:10
如果从计算出来的结果看，在直角坐标系中确实两个波函数只要旋转90°就能重合，但我想可能角动量算符的物理意义不是简单这样的，比如对于d态是三重简并，随便怎么转d1 也得不到 d2 的结果。所以角动量不能从旋 ...

1.角动量的最根本意义 在经典力学下 其是空间转动不变相应的守恒量
在量子下 其是空间转动的生成元
如果反而仅从其形式x *p 等来理解  是舍本取末

2. 后面关于矩阵元的证明没错 比较巧妙
  在你的情况下 态和算符 刚好都是可分离的
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6楼2014-10-01 22:34:03
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cxjzly2008

木虫之王 (文学泰斗)
祝大家国庆节快乐！继续努力!
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找不到问题就是问题；找到了问题，找不到解决方法，就是问题；找到了问题，也找到了解决方法，不去解决，就是问题
7楼2014-10-01 22:40:15
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