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角动量算符 作用于 二维谐振子波函数的角动量后 物理意义是什么？
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在直角坐标系下，二维谐振子势第一激发态的波函数是psi (01) psi (10), 请问如果用角动量算符 lz 作用于这两个简并态，为什么值为0呢， <psi (01)| lz |psi (01)> =0, <psi (10)| lz |psi (10)> =0, <psi (01)| lz |psi (10)> 却不等于0. (1) 这两个在直角坐标系下解出来的波函数是能量算符的本征态，而不是角动量算符的本征函数，对于角动量来说出现上面情况应该用什么物理内容来解释呢？ (2) 如果在球坐标系中，得到的是哈密顿量和轨道角动量的共同本征函数，所以角动量算符作用于自身的话得到的是本征值。 有点乱啊，理解不清楚。  1.png  2.jpg |
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walk1997
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4楼2014-10-01 20:35:57
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建议把各个力学量算符在直角坐标下的具体形式写下来 可能就清楚了 老老实实最具体的形式 那么 1. 在直角坐标系下，所谓的01和10指的是H_x 和 H_y的本征值吧? 这里 H_x+H_y=H (H_x=p_x^2/2m+V()) 这个时候 上面等式也能理解呀 就是L_z这个算符的前面二行二列的对角元是0，非对角元非零。 A. 可以在直角坐标下把波函数和L_z的形式写下来验证 B. 或者根据H,L关于x,p的的表达式和x,p的对易关系，可以验证 2.弄清楚了上面1，这个也就容易理解了，这个时候 选取的是H=H_x+H_y以及L_z^2为基本力学量，它们是相互对易的（因为谐振子势也是中心势），这个时候和直角坐标系对比，相当于一个表象变换，在这个表象变换下 H 还是对角的，但是L_z从非对角的变成对角的了，这个时候H_x和H_y当然也从对角的变成非对角的了。 |
3楼2014-10-01 20:25:17
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如果从计算出来的结果看，在直角坐标系中确实两个波函数只要旋转90°就能重合，但我想可能角动量算符的物理意义不是简单这样的，比如对于d态是三重简并，随便怎么转d1 也得不到 d2 的结果。所以角动量不能从旋转对称性来考虑。 回到在主贴提出的问题1，后来我是这么理解的，因为 Lz =坐标x 乘 动量y - 坐标y 乘 动量x <psi (01)| lz |psi (01)> 相当于在一个方向上的坐标平均值与另一个方向上的动量平均值的乘积，所以结果是为0的，因谐振子线性运动，没一个方向上的位置或者动量平均值都为0： 可以简单化为<0|x|0>*<1|p|1>=0 <psi (01)| lz |psi (10)>则不一样了，因为<0|x|1>不等于0， <1|p|0>也不为0. 两位 ...7兄 的矩阵力学博大精深，强。 |
5楼2014-10-01 21:34:10
