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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » f(0)‘’=0能不能说明在x的邻域内f(x)''存在？为什么啊
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修竹依米

木虫 (小有名气)
引用回帖:
11楼: Originally posted by hylpy at 2014-07-29 07:25:20
这个答案就是:f"(0)

我开始计算的也是这个结果
但是仔细分析了  觉得可能这个结果是错误的
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21楼2014-11-07 18:26:53
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修竹依米

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

前几天我提出如下的解决方法：
用泰勒公式 ：
f(x)=f(0)+f'(0)x+o(x)
xf'(x)-f(x)=x(f'(x)-f'(0))+x*o(x)
(xf'(x)-f(x))/x^2=(f'(x)-f'(0))/(x-0)+o(x)/x
最后一个的右边的极限为f"(0)

仔细分析 觉得还是有问题：
上面应该是：
f(x)=f(0)+f'(0)x+o(x)
xf'(x)-f(x)=x(f'(x)-f'(0))+o(x)
(xf'(x)-f(x))/x^2=(f'(x)-f'(0))/(x-0)+o(x)/（x^2）
如此 后面难以继续

注意到此时可以使用带有皮亚诺型余项的泰勒公式展开到2次项：
因此
f(x)=f(0)+f'(0)x+f"(0)*(x^2)/2+o(x^2)
xf'(x)-f(x)=x(f'(x)-f'(0))-f"(0)*(x^2)/2+o(x^2)
(xf'(x)-f(x))/x^2=(f'(x)-f'(0))/(x-0)-f"(0)/2+o(x^2)/（x^2）
得到所求的极限是：f"(0)/2
因为使用泰勒公式要求在该点的邻域中有二阶导数  而不是
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22楼2014-11-07 18:40:32
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