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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 随机变量函数的协方差大于0
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

[求助] 随机变量函数的协方差大于0 已有2人参与

问题如下：设f(x)，g(x)是实值单调有界函数，X是随机变量，证明
f(X)与g(X)的协方差大于0.

直观看，很显然，因为f(X)与g(X)同时增长，即正相关，所以协方差肯定大于0，但证明无从下手，没想出怎么利用条件：单调增加？
望高手指教，谢谢
另外也可以从实变或高数角度证明
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1楼 2014-05-27 20:45:17
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dh3440242

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
12楼: Originally posted by math2000 at 2015-09-07 09:51:18
我自己已经证明了，参加二楼！...

这个结论还有一个推广，就是若两个随机变量函数没有相同的单调性时，协方差是小于零的。想了很长时间没想出来。
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一切皆有可能
14楼2015-09-07 11:27:12
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chenjhit

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
好像是沙发额、、、没办法了、、应助吧、、、看不太懂题目、、、能不能直接求出对应的协方差呢？、、、表达式？、、还是测试点？？
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有鼬一样的眼睛还有鼬一样的心态，那么最终只会眼瞎。
2楼2014-05-27 21:03:58
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
即证明
E{f(X)g(X)}>E[f(X)]E[g(X)]
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3楼2014-05-27 21:07:32
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
设Random Variable X的分布函数为 h(x), 那么
必需追加条件:   以及 f(x), g(x) 单调上升 (否则有反例).  那么 E(fg) > E(f)E(g) 就是显然的.

原因如下:
(1) 令 ,  那么由于 h(x)是非负的,  f(x)/a  - 1是单调上升的, 并且 , 那么存在一点b, 满足函数 h(x)( f(x)/a -1) 在b点左边面积为负, 右边为正, 并且左边总面积绝对值等于右边总面积.

(2)  

这就是你想要的:  E(g*f/a) > E(g) ,  E(gf)> E(g)*a = E(g)*E(f).
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We_must_know. We_will_know.
4楼2014-05-28 07:35:55
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