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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 举例说明开集的边界的测度不为0；开集与其闭包的测度不相等
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紫陌缱绻

铜虫 (初入文坛)

[求助] 举例说明开集的边界的测度不为0；开集与其闭包的测度不相等 已有1人参与

举例说明开集的边界的测度不为0；开集与其闭包的测度不相等
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所有目的地
1楼 2014-04-14 19:21:41
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
取[0,1]带有正测度的Cantor三分集C. (构造方法可以去百度或者
http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_set), 那么C是闭集.

令A为C在[0,1]上的补集, 那么C在A 的边界内, 且测度非零.  A的闭包为[0,1], 但A的测度是 1- |C|.
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We_must_know. We_will_know.
2楼2014-04-15 00:37:44
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
也可以构造二维空间R^2中的例子
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
3楼2014-04-15 03:48:48
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紫陌缱绻

铜虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2014-04-15 00:37:44
取带有正测度的Cantor三分集C. (构造方法可以去百度或者
http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_set), 那么C是闭集.

令A为C在上的补集, 那么C在A 的边界内, 且测度非零.  A的闭包为, 但A的测度是 1- |C|....

cantor集的测度不是0么
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所有目的地
4楼2014-04-15 21:42:33
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
紫陌缱绻: 金币+5, ★有帮助 2014-04-17 16:20:11
这个帖子里有类cantor三分集的构造，它可以作为你这里所要的例子。
http://www.math.org.cn/forum.php ... ;tid=29688#lastpost
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
5楼2014-04-16 06:52:18
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
找一个直线上的可数稠密集 （如 Q） 然后以该集中每个点为中心作一个小开区间，使得所有开区间长度之和收敛到有限值，这些开区间的并就是你要的开集。
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6楼2014-04-16 14:08:49
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