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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 一个无界函数的广义积分计算？
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

[求助] 一个无界函数的广义积分计算？ 已有5人参与

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
1楼 2014-04-08 02:43:48
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vect

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

可以考虑用含参数积分，设
I(b)=int(ln(1+b(x-1))/(1-x^3),x=0..1),则b=1即为所求，即I=I(1)，b=0时I(0)=0
所以I=I(1)-I(0)=int(I'(b),b=0..1);当然I(b)的导数含有对数，也不好积分
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6楼2014-04-11 13:25:53
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mathstudy

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
1不是瑕点,0是，可判断积分收敛；
结果是1/81 (-4 \[Pi]^2 - 6 PolyGamma[1, 1/3] + 3 PolyGamma[1, 2/3]) ,其中PolyGamma是 gamma函数对数的导数;
结果由Mathematica计算出来. 手工推导可以朝着这个方向，但是不是一件易事。
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2楼2014-04-08 08:43:26
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
Lim x-->0{Lnx/[1-x^3]}=∞；Lim x-->1{Lnx/[1-x^3]}=-1/3；
因此x=0是间断点，而x=1不是。
由于Integral{lnx*dx,0,1}=-1
综合上述，故原广义积分存在。
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3楼2014-04-08 12:03:25
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by mathstudy at 2014-04-08 08:43:26
1不是瑕点,0是，可判断积分收敛；
结果是1/81 (-4 \^2 - 6 PolyGamma + 3 PolyGamma) ,其中PolyGamma是 gamma函数对数的导数;
结果由Mathematica计算出来. 手工推导可以朝着这个方向，但是不是一件易事。...

因为 Integrate_{0}^1 ln(x)/(1-x^a) dx
= - Sum_{k=0}^{Infinity} (ak+1)^{-2},

所以积分收敛，并且值为 -1.1217330139。。。
一个无界函数的广义积分计算？
emuch005.jpg
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We_must_know. We_will_know.
4楼2014-04-08 13:15:14
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