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北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告
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Edstrayer

禁虫

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

[求助] 一个无界函数的广义积分计算? 已有5人参与

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青葱岁月圣诞夜,浪漫歌舞迎新年。
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peterflyer

管理员

peterflyer

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【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
Lim x-->0{Lnx/[1-x^3]}=∞;Lim x-->1{Lnx/[1-x^3]}=-1/3;
因此x=0是间断点,而x=1不是。
由于Integral{lnx*dx,0,1}=-1
综合上述,故原广义积分存在。
3楼2014-04-08 12:03:25
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mathstudy

实习版主

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【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
1不是瑕点,0是,可判断积分收敛;
结果是1/81 (-4 \[Pi]^2 - 6 PolyGamma[1, 1/3] + 3 PolyGamma[1, 2/3]) ,其中PolyGamma是 gamma函数对数的导数;
结果由Mathematica计算出来. 手工推导可以朝着这个方向,但是不是一件易事。
2楼2014-04-08 08:43:26
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hank612

主管区长

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引用回帖:
2楼: Originally posted by mathstudy at 2014-04-08 08:43:26
1不是瑕点,0是,可判断积分收敛;
结果是1/81 (-4 \^2 - 6 PolyGamma + 3 PolyGamma) ,其中PolyGamma是 gamma函数对数的导数;
结果由Mathematica计算出来. 手工推导可以朝着这个方向,但是不是一件易事。...

因为 Integrate_{0}^1 ln(x)/(1-x^a) dx
= - Sum_{k=0}^{Infinity} (ak+1)^{-2},

所以积分收敛,并且值为 -1.1217330139。。。
一个无界函数的广义积分计算?
emuch005.jpg

We_must_know. We_will_know.
4楼2014-04-08 13:15:14
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dalaran

主管区长

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【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
用复变函数做,构造闭路,用围道积分,可以算出结果,为  -1.121733014
5楼2014-04-08 14:43:56
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