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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼2014-04-08 02:43:48

dalaran

金虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

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用复变函数做，构造闭路，用围道积分，可以算出结果，为 -1.121733014

5楼2014-04-08 14:43:56

查看全部 8 个回答

mathstudy

金虫 (正式写手)

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1不是瑕点,0是，可判断积分收敛；
结果是1/81 (-4 \[Pi]^2 - 6 PolyGamma[1, 1/3] + 3 PolyGamma[1, 2/3]) ,其中PolyGamma是 gamma函数对数的导数;
结果由Mathematica计算出来. 手工推导可以朝着这个方向，但是不是一件易事。

2楼2014-04-08 08:43:26

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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Lim x-->0{Lnx/[1-x^3]}=∞；Lim x-->1{Lnx/[1-x^3]}=-1/3；
因此x=0是间断点，而x=1不是。
由于Integral{lnx*dx,0,1}=-1
综合上述，故原广义积分存在。

3楼2014-04-08 12:03:25

hank612

至尊木虫 (著名写手)

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引用回帖:

2楼: Originally posted by mathstudy at 2014-04-08 08:43:26
1不是瑕点,0是，可判断积分收敛；
结果是1/81 (-4 \^2 - 6 PolyGamma + 3 PolyGamma) ,其中PolyGamma是 gamma函数对数的导数;
结果由Mathematica计算出来. 手工推导可以朝着这个方向，但是不是一件易事。...

因为 Integrate_{0}^1 ln(x)/(1-x^a) dx
= - Sum_{k=0}^{Infinity} (ak+1)^{-2},

所以积分收敛，并且值为 -1.1217330139。。。

emuch005.jpg

We_must_know. We_will_know.

4楼2014-04-08 13:15:14