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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 一个组合计数的小题？
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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界

[交流] 一个组合计数的小题？ 已有2人参与

设有n元钱，要兑换成1元，2元或5元的组合，问有多少种不同的组合数？
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1楼 2014-04-07 01:25:10
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
★
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记p=[n/5]为n/5的整数部分，q=[(n-5*p)/2]为(n-5*p)/2的整数部分，则不同的组合数为p*q。
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2楼2014-04-07 04:33:30
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
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We_must_know. We_will_know.
3楼2014-04-07 12:40:46
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
答案是[img]https://latex.codecogs.com/png.latex?A(n)=\sum\limits_{p=0}^{[\frac{n}{5}]}\sum\limits_{q=0}^{[\frac{n-5p}{2}]}1[/img]
当n=1000时，A(1000)=50401
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
4楼2014-04-07 15:31:24
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
设A(n)表示n=r+2q+5p的非负整数解的解数，则
当n=1000时，A(1000)=50401，一般地有：
一个组合计数的小题？
CodeCogsEqn一个组合计算的计数公式.png
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
5楼2014-04-07 15:36:45
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
5楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-07 15:36:45
设A(n)表示n=r+2q+5p的非负整数解的解数，则
当n=1000时，A(1000)=50401，一般地有：

CodeCogsEqn一个组合计算的计数公式.png
...

这个答案正解: 简单, 直接, 容易(编程)计算, 结构紧凑.

对比我的歪解, 就是为了凑答案而生搬应造的, 丧失了数学的美感. 这样的Closed Form只比没有答案稍微好一点.
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We_must_know. We_will_know.
6楼2014-04-08 01:02:27
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
也有公式的闭形式：
当n=10k+1时，A(n)=1+5k(k+1)=(n^2+8n+11)/20
当n=10k+r(r=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)时，类似可以得到公式的闭形式。
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7楼2014-04-08 02:16:00
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