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suntec

木虫 (正式写手)

[求助] 请教一传热学方程 heat equation 已有1人参与

导热基本方程是根据能量守恒原理推导出来的,即 能量输入-能量输出=存储的能量

假设某个小球放在流体中,然后用激光对此小球加热(假设小球所吸收的单位面积加热功率 为P),对流换热系数恒为h,假设此小球足够小,各处温度相同,那么按照那个导热方程:

P*pi*r^2-h*4*pi*r^2*(T-T0)=rho*C*4/3*pi*r^3*dT/dt

上式中r、rho、C分别为此小球的半径、密度与比热容,T为其温度。有可能根据此方程估算这个小球在稳态下的温度吗?也可以顺便估算进入稳态下所需要的时间。

多谢!
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arising2010

铜虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ...
感谢参与,应助指数 +1
suntec: 金币+10, 有帮助, 多谢,能否再帮忙看看这个方程的解?多谢! 2014-04-01 12:31:12
suntec: 金币+90, ★★★★★最佳答案, 多谢帮助! 2014-04-01 16:39:56
nono2009: EPI+1, 鼓励应助 2014-04-01 21:39:33
可以,稳态稳定只要让dT/dt=0即可,即左端式子等于0时得到的T
到稳态的时间只要解这个常微分方程,然后T/T稳定=0.95或者别的什么值,如果比率超过0.95,时间会更长,比率具体多少你自己定

不过这个模型的确太简化了,可以先试算一下,不行再细化模型
2楼2014-04-01 12:19:20
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suntec

木虫 (正式写手)

引用回帖:
2楼: Originally posted by arising2010 at 2014-04-01 12:19:20
可以,稳态稳定只要让dT/dt=0即可,即左端式子等于0时得到的T
到稳态的时间只要解这个常微分方程,然后T/T稳定=0.95或者别的什么值,如果比率超过0.95,时间会更长,比率具体多少你自己定

不过这个模型的确太简 ...

多谢楼上!

但是根据这个方程,解出来的温度时间函数比较奇怪:
T(t)=C1*exp[-(3h/rho/C/r)*t]+3P/(4*rho*C*r)*t+T0+C2

还不知道如何计算那两个待定系数C1与C2,只知道时间t=0时 T(0)=T0,于是C1+C2=0;但不知道还缺少一个什么条件。

不过,按照这个解,当时间趋向于无穷大的时候,C1那项可以认为是0,但第二项将趋向于无穷大,剩下的T0与C2都是常数,于是不可能能够达到一个稳定状态,好像与稳态的设想矛盾啊?

是不是我哪里理解错了?

多谢!
3楼2014-04-01 12:28:54
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arising2010

铜虫 (正式写手)

引用回帖:
3楼: Originally posted by suntec at 2014-04-01 12:28:54
多谢楼上!

但是根据这个方程,解出来的温度时间函数比较奇怪:
T(t)=C1*exp+3P/(4*rho*C*r)*t+T0+C2

还不知道如何计算那两个待定系数C1与C2,只知道时间t=0时 T(0)=T0,于是C1+C2=0;但不知道还缺少一个 ...

你这是一阶模型,怎么可能出现两个待定常数?解错了吧
4楼2014-04-01 12:33:59
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arising2010

铜虫 (正式写手)

可以翻翻高数课本

或者,我以dx/dt=x+b为例说一下如何解,你的方程可以简化成这个形式

d(x+b)/dt=x+b

d(x+b)/(x+b)=dt

两边积分
ln(x+b)+c=t

x=exp(t-c)-b

剩下的你自己整理一下吧
5楼2014-04-01 12:55:03
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suntec

木虫 (正式写手)

引用回帖:
4楼: Originally posted by arising2010 at 2014-04-01 12:33:59
你这是一阶模型,怎么可能出现两个待定常数?解错了吧...

哦 果然啊  汗   一些基本求解微分方程的步骤都整糊涂了  
6楼2014-04-01 13:03:10
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suntec

木虫 (正式写手)

引用回帖:
6楼: Originally posted by suntec at 2014-04-01 13:03:10
哦 果然啊  汗   一些基本求解微分方程的步骤都整糊涂了  ...

算我今天过了个好节 哈哈哈

不过好像无法继续评分啊  

请版主将余下的金币送给arising2010,多谢!
7楼2014-04-01 13:05:52
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