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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 能源 » 热能工程 » 请教一传热学方程 heat equation
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suntec

木虫 (正式写手)

[求助] 请教一传热学方程 heat equation 已有1人参与

导热基本方程是根据能量守恒原理推导出来的，即 能量输入-能量输出=存储的能量

假设某个小球放在流体中，然后用激光对此小球加热（假设小球所吸收的单位面积加热功率 为P），对流换热系数恒为h，假设此小球足够小，各处温度相同，那么按照那个导热方程：

P*pi*r^2-h*4*pi*r^2*(T-T0)=rho*C*4/3*pi*r^3*dT/dt

上式中r、rho、C分别为此小球的半径、密度与比热容，T为其温度。有可能根据此方程估算这个小球在稳态下的温度吗？也可以顺便估算进入稳态下所需要的时间。

多谢！
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1楼 2014-04-01 11:34:29
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回帖置顶 ( 共有1个 )

arising2010

铜虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ...
感谢参与，应助指数 +1
suntec: 金币+10, ★有帮助, 多谢，能否再帮忙看看这个方程的解？多谢！ 2014-04-01 12:31:12
suntec: 金币+90, ★★★★★最佳答案, 多谢帮助！ 2014-04-01 16:39:56
nono2009: EPI+1, 鼓励应助 2014-04-01 21:39:33
可以，稳态稳定只要让dT/dt=0即可，即左端式子等于0时得到的T
到稳态的时间只要解这个常微分方程，然后T/T稳定=0.95或者别的什么值，如果比率超过0.95，时间会更长，比率具体多少你自己定

不过这个模型的确太简化了，可以先试算一下，不行再细化模型
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2楼2014-04-01 12:19:20
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suntec

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by arising2010 at 2014-04-01 12:19:20
可以，稳态稳定只要让dT/dt=0即可，即左端式子等于0时得到的T
到稳态的时间只要解这个常微分方程，然后T/T稳定=0.95或者别的什么值，如果比率超过0.95，时间会更长，比率具体多少你自己定

不过这个模型的确太简 ...

多谢楼上！

但是根据这个方程，解出来的温度时间函数比较奇怪：
T(t)=C1*exp[-(3h/rho/C/r)*t]+3P/(4*rho*C*r)*t+T0+C2

还不知道如何计算那两个待定系数C1与C2，只知道时间t=0时 T(0)=T0，于是C1+C2=0；但不知道还缺少一个什么条件。

不过，按照这个解，当时间趋向于无穷大的时候，C1那项可以认为是0，但第二项将趋向于无穷大，剩下的T0与C2都是常数，于是不可能能够达到一个稳定状态，好像与稳态的设想矛盾啊？

是不是我哪里理解错了？

多谢！
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3楼2014-04-01 12:28:54
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arising2010

铜虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by suntec at 2014-04-01 12:28:54
多谢楼上！

但是根据这个方程，解出来的温度时间函数比较奇怪：
T(t)=C1*exp+3P/(4*rho*C*r)*t+T0+C2

还不知道如何计算那两个待定系数C1与C2，只知道时间t=0时 T(0)=T0，于是C1+C2=0；但不知道还缺少一个 ...

你这是一阶模型，怎么可能出现两个待定常数？解错了吧
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4楼2014-04-01 12:33:59
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arising2010

铜虫 (正式写手)
可以翻翻高数课本

或者，我以dx/dt=x+b为例说一下如何解，你的方程可以简化成这个形式

d(x+b)/dt=x+b

d(x+b)/(x+b)=dt

两边积分
ln(x+b)+c=t

x=exp(t-c)-b

剩下的你自己整理一下吧
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5楼2014-04-01 12:55:03
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suntec

木虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by arising2010 at 2014-04-01 12:33:59
你这是一阶模型，怎么可能出现两个待定常数？解错了吧...

哦 果然啊  汗   一些基本求解微分方程的步骤都整糊涂了  
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6楼2014-04-01 13:03:10
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suntec

木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by suntec at 2014-04-01 13:03:10
哦 果然啊  汗   一些基本求解微分方程的步骤都整糊涂了  ...

算我今天过了个好节 哈哈哈

不过好像无法继续评分啊  

请版主将余下的金币送给arising2010，多谢！
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7楼2014-04-01 13:05:52
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