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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 怎样求满足这些条件的平面曲线方程？
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martialvv

铁虫 (初入文坛)

[求助] 怎样求满足这些条件的平面曲线方程？ 已有4人参与

我想求满足如下这些条件的曲线方程，是在xy平面内的：
1）A(x1,y1)和B(x2,y2)是已知点，f(x,y)是要求曲线；
2) f 过点A和B；
3）f在点A处的切向量是va=(vax,vay), 在点B处的切向量是vb=(vbx,vby), 这两个向量的模是1.
我想应该是有一族曲线满足这些条件，所以我再加一个条件：
4) f 从A到B或者从B到A的积分为最小。
请问怎么求解 f ？ 如果这些已知条件是符号不太方便解，可以假设数值举例，比如 A=(0,0), B=(1,2), va=(-1,0), vb=(0,1).
多谢。
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Boncourage!
1楼 2014-02-26 16:29:16
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
下面是个人的一点想法，不知对不对，全当抛砖引玉了。
个人认为这就是一个变分问题：min{Integral{f(x,y)*dx, xA, xB}}.
假设这个曲线存在，为f(x,y)=0,
根据变分法中的E-L方程：
Pf(x,y)/Py - d[Pf(x,y)/Py']/dx=0
由于f(x,y)不含y'，故方程中的后一项为零。
Pf(x,y)/Py =0,积分后得到：
f(x,y)=g(x)，其中g(x)为x的任意函数，即f只是x的函数，与y无关。
如此看来，此曲线不存在。
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2楼2014-02-26 22:11:52
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martialvv

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by peterflyer at 2014-02-26 22:11:52
下面是个人的一点想法，不知对不对，全当抛砖引玉了。
个人认为这就是一个变分问题：min{Integral{f(x,y)*dx, xA, xB}}.
假设这个曲线存在，为f(x,y)=0,
根据变分法中的E-L方程：
Pf(x,y)/Py - d/dx=0
由于f(x ...

谢谢你提供这样一种思考方式。但是我觉得这样的曲线我们是可以画出来的，比如某种特定情况下就是圆的一段弧，如果在两个点处的切向量方向相同且在他们的连线上，那最短就是他们之间的线段，只是在普遍的情况下，我不知道该怎么求方程。我感觉应该是存在的吧，有时而且不止一条（也就是从不同的路径积分结果是一样的且最小的）。
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Boncourage!
3楼2014-02-27 16:50:31
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1234spring

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
你可以查一下微分几何的曲线论相关知识，应该是测地线最短
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4楼2014-02-27 23:03:57
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laosam280

禁虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
martialvv: 金币+5 2014-03-10 17:13:46
本帖内容被屏蔽
5楼2014-02-28 01:23:14
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
martialvv: 金币+10 2014-03-10 17:13:06
这是一个典型的bezier曲线模型!
你可以参考计算机辅助几何设计方面的书!
三次bezier曲线就可以满足你的要求:
1.端点插值;2.与边向量相切
比如你给的例子:
可算得参数方程:
x=-t+5*t^2-3*t^3;y=5*t^2-3*t^3;其中t属于[0,1].
消去参数t就可以得到你要的f(x,y)!
如果要满足第四个条件可以在切向量上加入因子系数,再通过条件确定即可!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
6楼2014-02-28 08:30:17
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martialvv

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by laosam280 at 2014-02-28 01:23:14
目前看来，楼主提供的问题没有可能找到一组合理的解。因为主要缺少的约束条件有
1. 函数的可微性要求；
2. 积分最小应该是指积分的绝对值最小吧；
3. 端点处的切向量的模没有起到约束条件的作用，因为向量总是可 ...

额，那个圆弧是我写错了，我想当然的，本来想的是一段圆滑的弧线。。。
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Boncourage!
7楼2014-03-03 17:27:27
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martialvv

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
6楼: Originally posted by wurongjun at 2014-02-28 08:30:17
这是一个典型的bezier曲线模型!
你可以参考计算机辅助几何设计方面的书!
三次bezier曲线就可以满足你的要求:
1.端点插值;2.与边向量相切
比如你给的例子:
可算得参数方程:
x=-t+5*t^2-3*t^3;y=5*t^2-3*t^3;其 ...

谢谢，你的答案给我提示了另外一个考虑的方向，我需要去读一下这方面的书，不过还有几个问题：在切向量上加入因子系数再通过条件确定是什么意思，是x,y对t求导然后乘一个系数吗？还有这种方法是否可以数学地证明确实是所有情况中最短的？
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Boncourage!
8楼2014-03-04 16:56:19
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martialvv

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by laosam280 at 2014-02-28 01:23:14
目前看来，楼主提供的问题没有可能找到一组合理的解。因为主要缺少的约束条件有
1. 函数的可微性要求；
2. 积分最小应该是指积分的绝对值最小吧；
3. 端点处的切向量的模没有起到约束条件的作用，因为向量总是可 ...

其实我问这个问题的背景是一个两轮机器人从A点以恒定速度走到B点的路径规划，它的起始位置和方向是确定的，我希望这条路径是所有路径里最短的。这种情况下您觉得该怎样添加约束条件呢？
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Boncourage!
9楼2014-03-04 17:01:15
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)
引用回帖:
8楼: Originally posted by martialvv at 2014-03-04 16:56:19
谢谢，你的答案给我提示了另外一个考虑的方向，我需要去读一下这方面的书，不过还有几个问题：在切向量上加入因子系数再通过条件确定是什么意思，是x,y对t求导然后乘一个系数吗？还有这种方法是否可以数学地证明确 ...

就是说满足条件1,2,3的曲线里面还可以有两个自由参数!再通过条件4确定参数值!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
10楼2014-03-04 21:15:17
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