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lilihurry

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[求助] 请大师帮忙解决一中学不等式问题，谢谢！已有2人参与

用数学归纳法证明（1/2）*（3/4）……*【(2n-1)/2n】<1/根号3n+1（n≥2）

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1楼 2013-12-14 21:53:44

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
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lilihurry(feixiaolin代发): 金币+5 2013-12-16 20:38:40

求解过程：
n=2时，左边=3/8<7^(-1/2)=右边，不等式成立；
n=3时，左边=1/4<10^(-1/2)=右边，不等式成立；
  设n=N时, 不等式成立，即：
π｛（2*n-1）/(2*n)｝<(3*n+1)^(-1/2) , π表示连乘号。
  上式两边同乘以个正数[(2(n+1)-1]/[2*(n+1)],不等式仍成立。
π[(2*n-1)/(2*n)]*[(2(n+1)-1]/[2*(n+1)]
         <(3*n+1)^(-1/2)*[(2(n+1)-1]/[2*(n+1)]
只要证明了不等式的右边小于[3*(n+1)+1]^(-1/2) ,命题即得到证明。
不等式两边同时平方，因为两者皆为正数，故不等式仍成立，经整理：
得到：  n>3,
也就是说，当n>3时，不等式的右边小于[3*(n+1)+1]^(-1/2)
  综合起来，n>2时，不等式成立。

证毕。