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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请大师帮忙解决一中学不等式问题，谢谢！
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lilihurry

银虫 (小有名气)

[求助] 请大师帮忙解决一中学不等式问题，谢谢！ 已有2人参与

用数学归纳法证明（1/2）*（3/4）……*【(2n-1)/2n】<1/根号3n+1（n≥2）
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1楼 2013-12-14 21:53:44
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秦守成

铁杆木虫 (著名写手)

秦博

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
可以给原题么？别拉下什么

[ 发自小木虫客户端 ]
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开心快乐过一生
2楼2013-12-14 22:45:10
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
k=2, 成立；
设 n=k 成立，证n=k+1 成立，则需证
(2*k+1)/(2*k+2)/sqrt(3*k+1)<1/sqrt(3*n+4), 或(2*k+1)/(2*k+2)/sqrt(3*k+1)*sqrt(3*n+4)<1即可，不难。
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3楼2013-12-14 23:06:31
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lilihurry

银虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by 秦守成 at 2013-12-14 22:45:10
可以给原题么？别拉下什么

没有拉下
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4楼2013-12-14 23:15:59
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
lilihurry(feixiaolin代发): 金币+5 2013-12-16 20:38:40
求解过程：
   n=2时，左边=3/8<7^(-1/2)=右边，不等式成立；
   n=3时，左边=1/4<10^(-1/2)=右边，不等式成立；
  设n=N时, 不等式成立，即：
    π｛（2*n-1）/(2*n)｝<(3*n+1)^(-1/2) , π表示连乘号。
  上式两边同乘以个正数[(2(n+1)-1]/[2*(n+1)],不等式仍成立。
   π[(2*n-1)/(2*n)]*[(2(n+1)-1]/[2*(n+1)]
             <(3*n+1)^(-1/2)*[(2(n+1)-1]/[2*(n+1)]
只要证明了不等式的右边小于[3*(n+1)+1]^(-1/2) ,命题即得到证明。
不等式两边同时平方，因为两者皆为正数，故不等式仍成立，经整理：
得到：  n>3,
   也就是说，当n>3时，不等式的右边小于[3*(n+1)+1]^(-1/2)
  综合起来，n>2时，不等式成立。

证毕。
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5楼2013-12-15 12:29:23
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莲动波光浩月

木虫 (小有名气)
楼主，为什么要用数学归纳法呢，我感觉数学归纳法那些步骤写起来很烦！
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6楼2013-12-16 19:56:07
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