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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 求抛物线的表面积，谢谢
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douhaosuda

木虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by peterflyer at 2013-11-30 09:37:36
作此题的思路是：截取一段曲线微元dL, 则该微元绕y轴旋转一圈的面积为：dS=dL*2*π*x=sqrt{1+^2}*dx*2*π*x=2*π*x*sqrt{1+4*n^2/r^2}*dx
然后对dS从0到r求定积分即可。

非常感谢，还有我不知道是否金币给你了~我是新手，多多关照
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新手初来咋到，大侠们多多指教哈
11楼2013-11-30 19:51:46
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douhaosuda

木虫 (正式写手)
内容已删除
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12楼2013-11-30 19:52:37
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
douhaosuda: 金币+10, ★★★很有帮助 2013-11-30 21:24:54
引用回帖:
11楼: Originally posted by douhaosuda at 2013-11-30 19:51:46
非常感谢，还有我不知道是否金币给你了~我是新手，多多关照...

到目前为止，尚未收到金币。
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13楼2013-11-30 20:05:51
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douhaosuda

木虫 (正式写手)
引用回帖:
13楼: Originally posted by peterflyer at 2013-11-30 20:05:51
到目前为止，尚未收到金币。...

收到了吗？
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14楼2013-11-30 21:25:16
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
14楼: Originally posted by douhaosuda at 2013-11-30 21:25:16
收到了吗？...

好，刚刚收到楼主发来的10个金币。
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15楼2013-11-30 22:48:02
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douhaosuda

木虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by peterflyer at 2013-11-30 09:37:36
作此题的思路是：截取一段曲线微元dL, 则该微元绕y轴旋转一圈的面积为：dS=dL*2*π*x=sqrt{1+^2}*dx*2*π*x=2*π*x*sqrt{1+4*n^2/r^2}*dx
然后对dS从0到r求定积分即可。

你好，我还想请教一下，既然是绕y旋转，为什么是从dL到dx，而不是到dy呢？谢谢
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16楼2013-12-02 19:52:39
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
16楼: Originally posted by douhaosuda at 2013-12-02 19:52:39
你好，我还想请教一下，既然是绕y旋转，为什么是从dL到dx，而不是到dy呢？谢谢...

在高等数学里我们不是已经推导出曲线长度微元与坐标微元的关系：dL=sqrt[(dx)^2+(dy)^2]=sqrt[1+(dy/dx)^2]*dx 。
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17楼2013-12-02 19:57:40
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

若是计算绕x轴旋转的曲面面积，则曲面面积微元为：
      dS=dL*2*π*y=2*π*[-n/r*x^2+n*r]*sqrt{1+(-2*n*x/r)^2*^2}*dx
       注意在求积微元表达式中，只是将原来的x换成y，其余不变。仔细体会一下。
       故：
        S=Integral{dS,-r ,r}=2*Integral{dS , 0 , r}=......
       上市是借助偶函数的性质化简积分区间。这些积分也不难，很容易积出来。
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18楼2013-12-02 20:12:56
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douhaosuda

木虫 (正式写手)
引用回帖:
18楼: Originally posted by peterflyer at 2013-12-02 20:12:56
若是计算绕x轴旋转的曲面面积，则曲面面积微元为：
      dS=dL*2*π*y=2*π**sqrt{1+(-2*n*x/r)^2*^2}*dx
       注意在求积微元表达式中，只是将原来的x换成y，其余不变。仔细体会一下。
       故：
        ...

大哥，太感谢了~你是好人啊~~
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19楼2013-12-03 08:35:44
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
依公式
面积=2*pi*x对sqrt(delta_x^2+ delta_y^2)在[0，nr]上的积分，
而sqrt(delta_x^2+ delta_y^2)= sqrt((delta_x/delta_y)^2+ 1)*dy
= sqrt((1/(dy/dx)^2+ 1)*dy
故，
Integrate[ 2*pi*x* sqrt(delta_x^2+ delta_y^2), {y, 0, nr} ]
= Integrate[2*pi*x* sqrt(1+r^2/(-2*n*x)^2), {y, 0, nr} ]
= pi/n* Integrate[sqrt((1+4*n^2*[1-y/(nr)]), {y, 0, nr} ]
= pi*r/n* Integrate[sqrt((1+4*n^2*[1-y/(nr)]), {y, 0, nr} ]
= pi*r/n*k* Integrate[sqrt(1-y/a)), {y, 0, nr} ]
=……

[ Last edited by feixiaolin on 2013-12-3 at 11:24 ]
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20楼2013-12-03 11:05:19
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