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涉及组合的方程
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请问大牛，下面涉及高中组合知识的问题。证明：k,m,n为正整数， |
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hank612
至尊木虫 (著名写手)
- 数学EPI: 14
- 应助: 225 (大学生)
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- 性别: GG
- 专业: 理论和计算化学
【答案】应助回帖
感谢参与，应助指数 +1
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引理: (1-x)^(-p)= Sum_{k=0}^Infinity C(p+k-1, k)*x^k. 引理的证明: 人艰不拆. 考虑到k-j和j的可交换顺序,不妨设 n>=m. 考虑函数(1-x^2)^{-m}*(1-x)^{-(n-m)}. 它的x^k系数来自(1-x)^{-n} * (1+x)^{-m}展开式, 等于 Sum_{j=0}^k C(n-1+k-j, k-j)*C(m-1+j,j)*(-1)^j, 就是我们想要的. 另一方面, (1-x^2)^{-m}= Sum_{p=0}^Infinity C(m+p-1, p)*x^{2p}, 系数都是非负整数; 当n-m>0时, (1-x)^{-(n-m)} 展开式中每一个次数x^i的系数都是正整数. 因此当n-m>0时, (1-x^2)^{-m}*(1-x)^{-(n-m)} 系数都是正整数. 当n-m=0时, (1-x^2)^{-m}是偶函数, 所以系数是零当且仅当x^k, k是奇数. |
2楼2013-11-26 05:35:57