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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 定积分求助，见附件，谢谢！
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
微分方程的解=齐次解+特解
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11楼2013-10-30 19:39:41
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ssszhangxx

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by feixiaolin at 2013-10-30 18:01:37
求导：20*x-y=y’
y=K*exp(-x)+20*x-20;
带入积分式
10* x + K*exp(-x/2)- K= K*exp(-x)+ 20*x-20-C
整理：
K*exp(-x)- K*exp(-x/2) + 10*x-20-C + K =0
假定-20-C + K =0，有
K*exp(-x)- K*exp(-x/2) + 10* ...

变上限积分的求导值得商榷，上限不是x，是x/2
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12楼2013-10-30 22:27:16
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
引用回帖:
12楼: Originally posted by ssszhangxx at 2013-10-30 22:27:16
变上限积分的求导值得商榷，上限不是x，是x/2...

建议正确，更正如下
求导：[20*x-y]*0.5=y’
y=K*exp(-x/2)+20*x-40;
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13楼2013-10-31 11:13:34
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
引用回帖:
12楼: Originally posted by ssszhangxx at 2013-10-30 22:27:16
变上限积分的求导值得商榷，上限不是x，是x/2...

再做更正
积分：Int[0,x/2|, 20*x-y]dx=y-C
令t=x/2
Int[0,t|, 40*t-y(2*t)]dt=y(2*t)-C
求导：40*t-2*y(2*t)= 2*y’(2*t)
20*x-2*y(x)= 2*y’(x)
10*x-y(x)= y’(x)

y=K*exp(-x)+10*x-10;
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14楼2013-11-01 21:46:35
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
4楼: Originally posted by feixiaolin at 2013-10-30 18:01:37
求导：20*x-y=y’
y=K*exp(-x)+20*x-20;
带入积分式
10* x + K*exp(-x/2)- K= K*exp(-x)+ 20*x-20-C
整理：
K*exp(-x)- K*exp(-x/2) + 10*x-20-C + K =0
假定-20-C + K =0，有
K*exp(-x)- K*exp(-x/2) + 10* ...

4楼的求导不对吧？左式应按复合函数求导规则求导数，然后得到：
[20*x/2-y(x/2)]/2=dy(x)/dx, 即：
5*x-1/2*y(x/2)=dy(x)/dx  .
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15楼2013-11-02 01:30:42
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
两边求导（注意是复合求导），得：
（20*x-y)*1/2=dy/dx
dy/dx+y/2=10*x
这是一次线性非齐次常微分方程。
其对应的齐次方程dy/dx+y/2=0的解为y*=A*exp(-x/2),此处A为积分常数。
令非齐次方程（20*x-y)*1/2=dy/dx的解y=B(x)*exp（-x/2）,带入原方程，得到：
dB(x)/dx=10*x*exp(x/2)
运用分步积分法得到B（x）=20*x*exp(x/2)-40*exp(x/2)+D，此处D为积分常数。
将B(x）的表达式带回y的表达式中，得到：
y(x)=20*x-40+D*exp(-x/2)
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16楼2013-11-02 01:31:10
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