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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助大神：C_0在C交L无穷里稠密吗？应该怎么证明？
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荞桥

新虫 (小有名气)

[求助] 求助大神：C_0在C交L无穷里稠密吗？应该怎么证明？

求助各位大神，C_0空间在（C与L无穷的交）里稠密吗？怎么证明？或者有相关的结论吗？谢谢！
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1楼 2013-10-09 14:46:29
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
你能说说函数空间的度量是如何定义的吗? 还有, C 空间的定义是什么, 你想要比较的两个空间谁大谁小, 我怎么觉得 C交 L^{Infinity}更小呢?
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We_must_know. We_will_know.
2楼2013-10-10 03:46:59
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荞桥

新虫 (小有名气)
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2楼: Originally posted by hank612 at 2013-10-10 03:46:59
你能说说函数空间的度量是如何定义的吗? 还有, C 空间的定义是什么, 你想要比较的两个空间谁大谁小, 我怎么觉得 C交 L^{Infinity}更小呢?

\omega是有界开集，C_0(\omega)是连续有紧支集的，C(\omega)是连续，L无穷\omega是有界，C_0当然是连续有界的
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3楼2013-10-10 08:13:10
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
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3楼: Originally posted by 荞桥 at 2013-10-10 08:13:10
\omega是有界开集，C_0(\omega)是连续有紧支集的，C(\omega)是连续，L无穷\omega是有界，C_0当然是连续有界的...

how about the definition of metric?

If use the Sup_x |f(x)-g(x)| for the distance, then the constant x=1 cannot be approximated by any finite-supported continuous function.

If use Integral( |f(x)-g(x)|, dx), then of course C_0 closure is the full space.
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4楼2013-10-10 12:38:46
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荞桥

新虫 (小有名气)
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4楼: Originally posted by hank612 at 2013-10-10 12:38:46
how about the definition of metric?

If use the Sup_x |f(x)-g(x)| for the distance, then the constant x=1 cannot be approximated by any finite-supported continuous function.

If use Integral( | ...

范数你当然不能随便取了，C_0在L^p(1<=p<\infinite)里稠密，但是在L^{\infinite}里面不稠密，这是基本性质
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5楼2013-10-11 17:35:29
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
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5楼: Originally posted by 荞桥 at 2013-10-11 17:35:29
范数你当然不能随便取了，C_0在L^p(1<=p<\infinite)里稠密，但是在L^{\infinite}里面不稠密，这是基本性质...

When omega is a bounded open domain, continuous function set with compact support is dense. Otherwise, can you show a counter example ?
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6楼2013-10-11 22:51:25
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
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6楼: Originally posted by hank612 at 2013-10-11 22:51:25
When omega is a bounded open domain, continuous function set with compact support is dense. Otherwise, can you show a counter example ?...

不好意思啊，又想当然了。L^Infinity范数和积分没什么关系，本质上就是连续函数空间那个点点收敛的范数，因此常数函数就没法被紧支的逼近了。
既然你早就知道这个结论了，那不就是求助的问题么？ 不明白。
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7楼2013-10-11 23:24:01
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荞桥

新虫 (小有名气)
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7楼: Originally posted by hank612 at 2013-10-11 23:24:01
不好意思啊，又想当然了。L^Infinity范数和积分没什么关系，本质上就是连续函数空间那个点点收敛的范数，因此常数函数就没法被紧支的逼近了。
既然你早就知道这个结论了，那不就是求助的问题么？ 不明白。...

不是这样的，C_0在L^p(1<=p<\infinite)里稠密，但是在L^{\infinite}里面不稠密，但是我的问题是C_0在（C交L无穷）里是否稠密怎么证明，我觉得常函数C可以用有紧支集的函数逼近，取一列有紧支集的函数f_k，在每个\omega_k上等于C，不知道这个思路行不行
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8楼2013-10-12 09:33:49
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
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8楼: Originally posted by 荞桥 at 2013-10-12 09:33:49
不是这样的，C_0在L^p(1<=p<\infinite)里稠密，但是在L^{\infinite}里面不稠密，但是我的问题是C_0在（C交L无穷）里是否稠密怎么证明，我觉得常函数C可以用有紧支集的函数逼近，取一列有紧支集的函数f_k，在 ...

f_k总是和f=1在一个非零测集上相差1, 所以 || f_k - f ||_Infinity =1, 无法逼近的。 这和Omega 本身是否有界没有关系。

http://en.wikipedia.org/wiki/Lp_space
外事不决问百度， 我更方便用米国版的百度。
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9楼2013-10-12 10:14:19
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jabile

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
荞桥: 金币+10 2013-10-18 22:03:11
先证明常函数可以，
然后说明非负函数可以， ||f||_{\infty}<M, 取 0\leq g_n\uparrow M,   则 f\wedge g_n\uparrow f
然后说明一般函数可以，
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10楼2013-10-13 07:32:11
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