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风飞随影金虫 (小有名气)
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[求助]
二阶张量双点乘三阶张量
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图一是书上三阶张量双点乘二阶张量，问最后结果是否为图2中？ 另外需要求助的是二阶张量双点乘三阶张量，求和具体求解过程。 十分感谢  1.jpg  2.png  3.png |
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hank612
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我的Latex不支持中文， 就不编辑成PDF了，你只要把# 当成张量积符号（圈内有个叉号的）就好了。 一维张量是 向量， 我们就以n=3维空间为例，v= a_i e_i (Einstein求和), 其中e_1, e_2, e_3 是标准正交积， 就是说 (e_i, e_j)= delta (i j), 如果做向量内积的话。 物理里面用i, j, k 来表示标准正交基。 所以同一个v, 用物理表示就是 v1 i + v2 j + v3 k. 二维张量是矩阵，有n^2=9个元素。 用张量符号就是 D= d_{i j} e_i # e_j. 用两个向量作张量积就可以得到二维张量， 比如 (a_i e_i) # (b_j e_j) = (a_i*b_j) e_i # e_j. 换成矩阵来说， (i j) 位置的元素是 a_i * b_j 而已，只是用张量积符号，不用真的去画个3*3的矩阵了，太费地方啊。 三维张量是个立体矩阵，有n^3=27个元素 ，就是在i, j, k 三个方向的投影分别都是一个二维矩阵9个元素， 你给的T就是i 方向是矩阵A=(a_{ij}), j方向是矩阵B=(b_{ij}), k 方向是矩阵C=(c_{ij}), 可是用张量符号还是一行：T= f_{ijk} e_i # e_j # e_k. 比方说， 方向 k X j X k 的系数是什么呢？ 就是 f_{323} =c_{32} 啊。 现在比较张量乘法。以你的二阶点乘一阶为例。 T. v= T_{ij} e_i # e_j \dot A_m e_m = T_{ij} A_m e_i (e_j, e_m)= T_{ij} A_j e_i. 就是说，在二阶（或更高阶）张量中，只有最靠近后面的那些分量作了内积， 多余的分量不参和运算。 当然， 这样方便的背后是牺牲了交换性的。 比如， v.T= A_i e_i \dot T_{mn} e_m # e_n = A_i T_{mn} e_n (e_i, e_m)= T_{ij} A_i e_j. 你要注意的是，求和下标（称为哑元）是可以随便选取变量名字的，比如i,j,k,l, m,n,p,q，甲，乙，丙什么的。 我是看哪个顺眼（不混淆）就用哪个的。 再来个三阶点乘两阶的。 T.D=T_{ijk} e_i # e_j #e_k \dot d_{mn} e_m # e_n = T_{ijk} d_{mn} e_i # e_j \dot e_n (e_k, e_m) (我们先灭了最相邻的一对 e_k 和e_m) = T_{ijk} d_{mn} e_i (e_j, e_n) (e_k, e_m) （再灭一对） = T_{ijk} d_{kj} e_i. 这乘法我喜欢， 够简单。 至于你想要的，把它矩阵形式的系数慢慢写出来吧。 这个规则， 对m阶点乘 n阶张量都没问题， 如果写成矩阵形式， 立体矩阵烦都烦死了， 在系数丛林里晕头转向， 完全没看到背后简单到极点的规则。 |
8楼2013-09-29 01:07:03
hank612
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http://www.materials.uoc.gr/el/g ... _DYNAMICS_CRETE.pdf 楼主可以看到这个练接么? 我对物理的这种矩阵表示的张量看得很晕头转向, 就找找文献. 我打不出来张量积符号, 就是一个圆圈里面有个X的那个, 就用#来代替吧. 就我个人理解, (  很有可能是错的), 双点乘 : 就是说a_ijk ei # ej # ek : b_mn em #en = a_ijk b_mn (ei, em) (ej, en) ek. 其中(.,.)表示内积, 重复指标代表Einstein求和, 但不要求一上一下. 依这样的定义, 双点乘 : 是可交换的运算, T:d =d:T. |
2楼2013-09-28 01:25:50
hank612
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【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
风飞随影: 金币+15, ★★★很有帮助, 你打的这些我看不懂耶，图一是书上的，肯定正确的，图2我是接着图1继续算下去的，对不对我就不知道了。。。D：T和T：D应该是不等的~总之很感谢你~ 2013-09-28 10:36:43
感谢参与，应助指数 +1
风飞随影: 金币+15, ★★★很有帮助, 你打的这些我看不懂耶，图一是书上的，肯定正确的，图2我是接着图1继续算下去的，对不对我就不知道了。。。D：T和T：D应该是不等的~总之很感谢你~ 2013-09-28 10:36:43
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经过观察附件中的PDF文件, 我发现张量间的内积按照就近原则计算. 比如说 a_ijkl ei # ej # ek # el : b_mnp em # en #ep = a_ijkl b_mnp ei (el, em)(ek, en) (ej, ep) = a_ijkl b_lkj ei. 如此看来, 楼主的计算是有错误的. 你的 T张量是 f_ijk ei #ej #ek, 其中按照矩阵系数, f_ij1= a_ij, f_ij2=b_ij, f_ij3=c_ij. 那么 f_ijk ei # ej # ek : d_mn em # en = f_ijk d_kj ei. 换句话说, 你算的 i=e1的系数应该是 a1j d1j + b1j d2j + c1j d3j, 而图片中你的答案是aj1 d1j + bj1 d2j + cj1 d3j. 另外, 依照我上述的原则, d : T 很容易得到, 它不等于T: d. d_mn em # en : f_ijk ei # ej # ek = f_ijk d_ij ek, 比如, 向量i=e1的系数是 aij dij, (Eienstein 求和), 和bij, cij 无关. 楼主有办法验证这点么? |
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2013-09-28 02:50:57, 56.66 K
3楼2013-09-28 02:51:06
hank612
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5楼2013-09-28 13:21:18