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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 二阶张量双点乘三阶张量
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风飞随影

金虫 (小有名气)

[求助] 二阶张量双点乘三阶张量

图一是书上三阶张量双点乘二阶张量，问最后结果是否为图2中？

另外需要求助的是二阶张量双点乘三阶张量，求和具体求解过程。

十分感谢
二阶张量双点乘三阶张量
1.jpg


二阶张量双点乘三阶张量-1
2.png


二阶张量双点乘三阶张量-2
3.png
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1楼 2013-09-27 17:55:34
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
http://www.materials.uoc.gr/el/g ... _DYNAMICS_CRETE.pdf

楼主可以看到这个练接么? 我对物理的这种矩阵表示的张量看得很晕头转向, 就找找文献.

我打不出来张量积符号, 就是一个圆圈里面有个X的那个, 就用#来代替吧. 就我个人理解, (很有可能是错的), 双点乘 : 就是说
a_ijk ei # ej # ek : b_mn em #en =
a_ijk b_mn (ei, em) (ej, en) ek.  其中(.,.)表示内积, 重复指标代表Einstein求和, 但不要求一上一下.  依这样的定义, 双点乘 : 是可交换的运算, T:d =d:T.
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We_must_know. We_will_know.
2楼2013-09-28 01:25:50
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
风飞随影: 金币+15, ★★★很有帮助, 你打的这些我看不懂耶，图一是书上的，肯定正确的，图2我是接着图1继续算下去的，对不对我就不知道了。。。D：T和T：D应该是不等的~总之很感谢你~ 2013-09-28 10:36:43
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2013-09-28 01:25:50
http://www.materials.uoc.gr/el/grad/courses/METY101/FLUID_DYNAMICS_CRETE.pdf

楼主可以看到这个练接么? 我对物理的这种矩阵表示的张量看得很晕头转向, 就找找文献.

我打不出来张量积符号, 就是一个圆圈里 ...

经过观察附件中的PDF文件, 我发现张量间的内积按照就近原则计算. 比如说
a_ijkl ei # ej # ek # el : b_mnp em # en #ep
= a_ijkl b_mnp ei (el, em)(ek, en) (ej, ep)
= a_ijkl b_lkj ei.
如此看来, 楼主的计算是有错误的. 你的 T张量是 f_ijk ei #ej #ek, 其中按照矩阵系数, f_ij1= a_ij, f_ij2=b_ij, f_ij3=c_ij. 那么
f_ijk ei # ej # ek  : d_mn em # en  = f_ijk d_kj ei. 换句话说, 你算的 i=e1的系数应该是
a1j d1j + b1j d2j + c1j d3j, 而图片中你的答案是aj1 d1j + bj1 d2j + cj1 d3j.
另外, 依照我上述的原则, d : T 很容易得到, 它不等于T: d.
d_mn em # en  : f_ijk ei # ej # ek   = f_ijk d_ij ek, 比如, 向量i=e1的系数是
aij dij,  (Eienstein 求和), 和bij, cij 无关. 楼主有办法验证这点么?
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  • 附件 1 : root92a.pdf
    • 2013-09-28 02:50:57, 56.66 K
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3楼2013-09-28 02:51:06
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风飞随影

金虫 (小有名气)
继续求助~~~
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4楼2013-09-28 10:38:56
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2013-09-28 02:51:06
经过观察附件中的PDF文件, 我发现张量间的内积按照就近原则计算. 比如说
a_ijkl ei # ej # ek # el : b_mnp em # en #ep
= a_ijkl b_mnp ei (el, em)(ek, en) (ej, ep)
= a_ijkl b_lkj ei.
如此看来, 楼主的计 ...

再贴一遍， 用标准数学符号。
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  • 附件 1 : emuch.pdf
    • 2013-09-28 13:20:54, 16.54 K
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5楼2013-09-28 13:21:18
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风飞随影

金虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by hank612 at 2013-09-28 13:21:18
再贴一遍， 用标准数学符号。...

不知道为什么下载链接页面打不开，你重新发一遍试试，谢谢
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6楼2013-09-28 15:07:30
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风飞随影

金虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by hank612 at 2013-09-28 13:21:18
再贴一遍， 用标准数学符号。...

现在看到你的附件了，不过看的书都是用矩阵来表示的~要看懂你的还是得去找本与你类似的矩阵分析的书。。。

另外，我觉得图2的答案解得应该没问题啊~~~首先图1中的（7-48）式是书上的，应该没问题。。。（7-48式）不就是二阶张量点乘矢量么~按照二阶张量点乘矢量应该就是我的结果啊。。。

附上二阶张量点乘矢量的公式
二阶张量双点乘三阶张量-3
1.png
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7楼2013-09-28 15:39:46
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by 风飞随影 at 2013-09-28 15:39:46
现在看到你的附件了，不过看的书都是用矩阵来表示的~要看懂你的还是得去找本与你类似的矩阵分析的书。。。

另外，我觉得图2的答案解得应该没问题啊~~~首先图1中的（7-48）式是书上的，应该没问题。。。（7-48式 ...

我的Latex不支持中文， 就不编辑成PDF了，你只要把# 当成张量积符号（圈内有个叉号的）就好了。

一维张量是 向量， 我们就以n=3维空间为例，v= a_i e_i (Einstein求和),
其中e_1, e_2, e_3 是标准正交积， 就是说 (e_i, e_j)= delta (i j), 如果做向量内积的话。 物理里面用i, j, k 来表示标准正交基。 所以同一个v, 用物理表示就是 v1 i + v2 j + v3 k.

二维张量是矩阵，有n^2=9个元素。 用张量符号就是 D= d_{i j} e_i # e_j.  用两个向量作张量积就可以得到二维张量， 比如
(a_i e_i) # (b_j e_j) = (a_i*b_j) e_i # e_j. 换成矩阵来说， (i j) 位置的元素是 a_i * b_j 而已，只是用张量积符号，不用真的去画个3*3的矩阵了，太费地方啊。

三维张量是个立体矩阵，有n^3=27个元素 ，就是在i, j, k 三个方向的投影分别都是一个二维矩阵9个元素， 你给的T就是i 方向是矩阵A=(a_{ij}), j方向是矩阵B=(b_{ij}), k 方向是矩阵C=(c_{ij}), 可是用张量符号还是一行：T= f_{ijk} e_i # e_j # e_k. 比方说， 方向 k X j X k 的系数是什么呢？ 就是 f_{323} =c_{32} 啊。

现在比较张量乘法。以你的二阶点乘一阶为例。  T. v= T_{ij} e_i # e_j  \dot A_m e_m = T_{ij} A_m e_i (e_j, e_m)= T_{ij} A_j e_i. 就是说，在二阶（或更高阶）张量中，只有最靠近后面的那些分量作了内积， 多余的分量不参和运算。 当然， 这样方便的背后是牺牲了交换性的。 比如， v.T= A_i e_i  \dot T_{mn} e_m # e_n   = A_i T_{mn}  e_n (e_i, e_m)= T_{ij} A_i e_j. 你要注意的是，求和下标（称为哑元）是可以随便选取变量名字的，比如i,j,k,l, m,n,p,q，甲，乙，丙什么的。 我是看哪个顺眼（不混淆）就用哪个的。

再来个三阶点乘两阶的。 T.D=T_{ijk} e_i # e_j #e_k \dot d_{mn} e_m # e_n = T_{ijk} d_{mn} e_i # e_j \dot e_n (e_k, e_m) (我们先灭了最相邻的一对 e_k 和e_m) = T_{ijk} d_{mn} e_i  (e_j, e_n) (e_k, e_m) （再灭一对） = T_{ijk} d_{kj} e_i. 这乘法我喜欢， 够简单。 至于你想要的，把它矩阵形式的系数慢慢写出来吧。

这个规则， 对m阶点乘 n阶张量都没问题， 如果写成矩阵形式， 立体矩阵烦都烦死了， 在系数丛林里晕头转向， 完全没看到背后简单到极点的规则。
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8楼2013-09-29 01:07:03
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风飞随影

金虫 (小有名气)
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8楼: Originally posted by hank612 at 2013-09-29 01:07:03
我的Latex不支持中文， 就不编辑成PDF了，你只要把# 当成张量积符号（圈内有个叉号的）就好了。

一维张量是 向量， 我们就以n=3维空间为例，v= a_i e_i (Einstein求和),
其中e_1, e_2, e_3 是标准正交积， 就是 ...

f_{323}为什么不是=c_{32},把i=3时候取c，i=1时候取a。。。

最后的 T.D=T_{ijk} d_{kj} e_i，方向应该ei决定的啊，问题和上面的差不多，我觉得i=1时候的应该是a_{jk}d{kj}。。i=2时候是b_{jk}d{kj}。。不过这样跟答案差远了。。。但你是用k来决定a,b,c的，为什么一定是k来决定a,b,c的？
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9楼2013-09-29 09:40:12
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by 风飞随影 at 2013-09-29 09:40:12
f_{323}为什么不是=c_{32},把i=3时候取c，i=1时候取a。。。

最后的 T.D=T_{ijk} d_{kj} e_i，方向应该ei决定的啊，问题和上面的差不多，我觉得i=1时候的应该是a_{jk}d{kj}。。i=2时候是b_{jk}d{kj}。。不过这样 ...

用k 是类比阿， 事先说明，我说的不一定是对的， 我可没有仔细查书， 只是觉得这样定义比较顺手。

考虑 T=T_{i j} e_i # e_j. 它有三个列向量， (T11, T21, T31) 的转置是e_1 = i 方向的投影， 也就是说， 后面的分量控制方向， 那么三维张量， 自然也是最后那个k控制方向了。 就像小兵冲在前面， 指挥官在后面压阵。
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We_must_know. We_will_know.
10楼2013-09-29 10:34:30
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