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cherryjing1786铁虫 (正式写手)
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[求助]
求助向量子空间维数的一个证明
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四个有限域F上的向量子空间V1,V2,V3,V4，已知V3属于V1+V2+V4，并且已知dim(V4)+dim(V1交V2交V4)-dim(V1交V4)-dim(V2交V4)大于等于0，请问如何证明dim(V3+V4)+dim(V3+(V1交V2交V4))-dim(V3+(V1交V4))-dim(V3+(V2交V4))也大于等于0呢, 希望数学专业的牛人指点迷经，如果能证出来真是太感谢了！ |
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【答案】应助回帖
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符号说明, (A): 1,2,3,4代表相应向量空间V1, V2,V3, V4. (B): 123代表交集 V1交V2交V3, 以此类推. (C): 1+2 代表V1+V2, 空间之和. (D): (23) 括号代表取括号内子空间维数. 因此: 楼主条件为: (4)+ (124) >= (14) + (24). 求证: (3+4) + (3+ 124) >= (3+14) + (3+24). 貌似仅有一个工具: (A+B) + (AB) = (A) +(B). 我们从要求的结果出发,逆推: (3+4) + (3+ 124) >= (3+14) + (3+24); (3) + (4) - (34) + (3) +(124) - (3124) >= (3) +(14) -(314) +(3) +(24) -(234); (4) + (124) -(14) -(24) >= (34) - (134) - (234) + (1234); (4) + (124) -(14) -(24) >= (34 +1) -(1) - (1+234) +(1); (4) + (124) -(14) -(24) >= (34+1) - (234+1). 到此, 明显(34+1) - (234+1) >=0, 但是跟 (4) + (124) -(14) -(24) = (4) - (14 +24) >=0的大小比较却不知道. |
2楼2013-09-18 04:22:35
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