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cherryjing1786

铁虫 (正式写手)

[求助] 求助向量子空间维数的一个证明

四个有限域F上的向量子空间V1,V2,V3,V4，已知V3属于V1+V2+V4，并且已知dim(V4)+dim(V1交V2交V4)-dim(V1交V4)-dim(V2交V4)大于等于0，请问如何证明dim(V3+V4)+dim(V3+(V1交V2交V4))-dim(V3+(V1交V4))-dim(V3+(V2交V4))也大于等于0呢,
希望数学专业的牛人指点迷经，如果能证出来真是太感谢了！
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1楼2013-09-18 02:53:53
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
符号说明, (A): 1,2,3,4代表相应向量空间V1, V2,V3, V4.   (B): 123代表交集 V1交V2交V3, 以此类推.
(C):  1+2 代表V1+V2, 空间之和.   (D): (23) 括号代表取括号内子空间维数.
因此: 楼主条件为: (4)+ (124) >= (14) + (24). 求证: (3+4) + (3+ 124) >= (3+14) + (3+24).
貌似仅有一个工具: (A+B) + (AB) = (A) +(B). 我们从要求的结果出发,逆推:
(3+4) + (3+ 124) >= (3+14) + (3+24);
(3) + (4) - (34) + (3) +(124) - (3124) >= (3) +(14) -(314) +(3) +(24) -(234);
(4) + (124) -(14) -(24) >= (34) - (134) -  (234) + (1234);
(4) + (124) -(14) -(24) >= (34 +1) -(1) - (1+234) +(1);
(4) + (124) -(14) -(24) >= (34+1) - (234+1).
到此, 明显(34+1) - (234+1) >=0, 但是跟 (4) + (124) -(14) -(24) = (4) - (14 +24) >=0的大小比较却不知道.
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We_must_know. We_will_know.
2楼2013-09-18 04:22:35
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2013-09-18 04:22:35
符号说明, (A): 1,2,3,4代表相应向量空间V1, V2,V3, V4.   (B): 123代表交集 V1交V2交V3, 以此类推.
(C):  1+2 代表V1+V2, 空间之和.   (D): (23) 括号代表取括号内子空间维数.
因此: 楼主条件为: (4)+ (124) &g ...

看起来　(4)- (14+24) >= (34+1) - (234+1)是对的, 理由如下:
由于 34总是一起出现, 不妨设 V3 包含在V4中. 故要证: 　 (4)- (14+24) >= (3+1) - (23+1).
由于子空间的维数公式和Venn diagram的集合大小公式等价, 我们直接看由三个集合组成的Venn diagram好了.   3 分解为三部分: 31 + [23 不在1中] + [3 不在1+2中].
因此, (3+1) - (23+1) = (3 不在1+2中) <=  (4 不在1+2中) =(4)- (14+24).
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We_must_know. We_will_know.
3楼2013-09-18 05:37:08
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jabile

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
你的条件和结论都总是正确的， 根据dim(U+V)+dim(U\cap V)=dim U+ dim V，
令 U_1=V_4\cap V_1,U_2=V_4\cap V_2，则条件总成立
同样令 W_1=U_1+V_3,W_2=U_2+V_3,则结论总成立
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4楼2013-09-18 06:37:11
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cherryjing1786

铁虫 (正式写手)
非常感谢各位的热心帮助，关于楼上您所说

你的条件和结论都总是正确的， 根据dim(U+V)+dim(U\cap V)=dim U+ dim V，
令 U_1=V_4\cap V_1,U_2=V_4\cap V_2，则条件总成立
同样令 W_1=U_1+V_3,W_2=U_2+V_3,则结论总成立

其中关于结论的证明有一处疑问,如何证明
dim(W1交W2)=dim((V3+(V1交V4))交(V3+(V2交V4))）小于等于dim(V3+(V1交V2交V4))
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5楼2013-09-19 00:08:16
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