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cherryjing1786

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[求助] 向高人们求助有限域上四个向量子空间维数的证明

有限域F上的四个向量子空间V1,V2,V3和V4，它们的维数满足任意三个子空间之和的维数相等且等于四个子空间之和的维数，即dim(V1+V2+V3)=dim(V1+V2+V4)=dim(V2+V3+V4)=dim(V1+V2+V3+V4)，需要证明dim(V4)-(dim(V3交V4)+dim(V2交V4)+dim(V1交V4))+(dim(V2交V3交V4)+dim(V1交V3交V4)+dim(V1交V2交V4))-dim(V1交V2交V3交V4）的值大于等于0
我是在写文章过程中药用到这个结论证了好几个月了还没证明出来希望高手们帮忙不胜感激

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1楼 2013-09-10 01:34:43

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feixiaolin

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转换一下思路，dim(V4)>0?

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2楼2013-09-10 06:51:53

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hank612

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

楼主辛苦了，可以试试构造具体的例子。
令V1为一维子空间，由(1,1)张成；
V2 为一维子空间，由(1,-1)张成；
V3为一维子空间，由(0,1)张成；
V4为平面，就是V1+V2+V3.
那么你要证明的就是
2 - (1+1+1) + (0+0+0) - 0 >=0. 貌似不妥。

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We_must_know. We_will_know.

3楼2013-09-10 09:52:23

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hank612

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引用回帖:

3楼: Originally posted by hank612 at 2013-09-10 09:52:23
楼主辛苦了，可以试试构造具体的例子。
令V1为一维子空间，由(1,1)张成；
V2 为一维子空间，由(1,-1)张成；
V3为一维子空间，由(0,1)张成；
V4为平面，就是V1+V2+V3.
那么你要证明的就是
2 - (1+1+1 ...

刚刚回复太草率了

，没看到有限域

三个字。如果有限域上线性空间是算向量个数的话，除非域是F2(由0和1组成的两个元素的域), 否则楼主的命题是显然成立的，因为设V4的维数为n, 那么V4还有q^n 个向量 (q>=3)，而三个真子空间加起来最多3*q^{n-1}个向量，因此
dim(V4) >= dim(V3交V4)+dim(V2交V4)+dim(V1交V4).
如果其中有非真子空间，比如V1=V4, 那就更显然了。

如果域恰好是F2，那么V1=(0,1), V2=(1,0), V3=(1,1), V4={(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} 是个反例。

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We_must_know. We_will_know.

4楼2013-09-10 10:25:12

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