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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 向高人们求助 有限域上四个向量子空间维数的证明
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cherryjing1786

铁虫 (正式写手)

[求助] 向高人们求助 有限域上四个向量子空间维数的证明

有限域F上的四个向量子空间V1,V2,V3和V4，它们的维数满足任意三个子空间之和的维数相等且等于四个子空间之和的维数，即dim(V1+V2+V3)=dim(V1+V2+V4)=dim(V2+V3+V4)=dim(V1+V2+V3+V4)，需要证明dim(V4)-(dim(V3交V4)+dim(V2交V4)+dim(V1交V4))+(dim(V2交V3交V4)+dim(V1交V3交V4)+dim(V1交V2交V4))-dim(V1交V2交V3交V4）的值大于等于0
我是在写文章过程中药用到这个结论 证了好几个月了还没证明出来 希望高手们帮忙 不胜感激
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1楼 2013-09-10 01:34:43
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
转换一下思路，dim(V4)>0?
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2楼2013-09-10 06:51:53
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
楼主辛苦了，可以试试构造具体的例子。
令V1为一维子空间， 由(1,1)张成；
V2 为一维子空间， 由(1,-1)张成；
V3为一维子空间， 由(0,1)张成；
V4为平面， 就是V1+V2+V3.
那么 你要证明的就是
2 - (1+1+1) + (0+0+0) - 0 >=0. 貌似不妥。
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We_must_know. We_will_know.
3楼2013-09-10 09:52:23
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2013-09-10 09:52:23
楼主辛苦了，可以试试构造具体的例子。
令V1为一维子空间， 由(1,1)张成；
V2 为一维子空间， 由(1,-1)张成；
V3为一维子空间， 由(0,1)张成；
V4为平面， 就是V1+V2+V3.
那么 你要证明的就是
2 - (1+1+1 ...

刚刚回复太草率了， 没看到有限域三个字。 如果有限域上线性空间是算向量个数的话，除非域是F2(由0和1组成的两个元素的域), 否则楼主的命题是显然成立的， 因为设V4的维数为n, 那么V4还有q^n 个向量 (q>=3)，而三个真子空间加起来最多3*q^{n-1}个向量，因此
dim(V4) >=  dim(V3交V4)+dim(V2交V4)+dim(V1交V4).
如果其中有非真子空间，比如V1=V4, 那就更显然了。

如果域恰好是F2， 那么V1=(0,1), V2=(1,0), V3=(1,1), V4={(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} 是个反例。
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We_must_know. We_will_know.
4楼2013-09-10 10:25:12
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cherryjing1786

铁虫 (正式写手)
真是太感谢你了 真牛啊 我是搞密码学的 最佩服搞数学的牛人
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5楼2013-09-10 16:06:03
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cherryjing1786

铁虫 (正式写手)
怎么发金币啊 给回帖的朋友每人5个金币吧 希望还能有专业人士回帖
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6楼2013-09-10 17:11:45
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by cherryjing1786 at 2013-09-10 16:06:03
真是太感谢你了 真牛啊 我是搞密码学的 最佩服搞数学的牛人

楼主想太多了。如果你花了很大功夫还证不出来， 那很大可能命题是错的， 不妨反戈一击，举个反例。
我举的是平面和三根直线的关系， 不会有更简单的例子了。估计楼主一门心思要给出理论证明
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We_must_know. We_will_know.
7楼2013-09-10 22:44:17
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cherryjing1786

铁虫 (正式写手)
我需要的的确是理论证明 其实是不止四个向量空间的情况 应该是任意个向量子空间的情况
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8楼2013-09-11 13:30:33
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